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断点回归设计：局部随机化、带宽选择与有效性检验

断点回归设计：局部随机化、带宽选择与有效性检验

1 断点回归设计的直觉与识别逻辑

1.1 基本思想

断点回归设计（Regression Discontinuity Design, RDD） 利用一个运行变量（running variable） $X_i$ 决定处理的"规则"：当 $X_i$ 越过某阈值 $c$ 时，处理状态（或处理概率）出现不连续跳跃。

识别逻辑的关键直觉：

  • 在阈值 $c$ 附近，$X_i$ 略高于 $c$ 者（receive treatment）与略低于 $c$ 者（no treatment）在所有其他相关特征上几乎相同——因为是否越过阈值接近于"随机"，尤其是当个体对自身精确位置无完全控制时。
  • 因此，在阈值附近的条件下，两组个体的反事实潜在结果分布相似，处理效应可以识别。

1.2 RDD 的历史背景

RDD 最初由 Thistlethwaite & Campbell（1960）提出，研究奖学金对学生未来成就的影响——奖学金按考试分数的门槛分配，门槛附近的学生几乎同等水平，只因略超/未超门槛而导致处理状态不同。

此后被广泛应用于：选举效应（投票率阈值）、教育政策（班级规模阈值、保留级）、社会福利（收入资格线）、医学政策（血压/年龄阈值）等。

2 Sharp RDD

2.1 形式化定义

Sharp RDD（完全断点回归） 中，处理状态 $D_i$ 完全由运行变量决定：

$$D_i = \mathbf{1}[X_i \geq c]$$

识别假设（连续性假设）：

$$\mathbb{E}[Y_i(0) | X_i = x] \quad \text{和} \quad \mathbb{E}[Y_i(1) | X_i = x] \quad \text{在 } x = c \text{ 处连续}$$

即：如果在阈值处没有处理，潜在结果的条件期望函数是连续的——个体的"基线表现"不会在阈值处跳跃。

识别结论：RDD 估计量识别阈值处的局部平均处理效应（LATE at the cutoff）：

$$\tau_{\text{RDD}} = \lim_{x \downarrow c} \mathbb{E}[Y_i | X_i = x] - \lim_{x \uparrow c} \mathbb{E}[Y_i | X_i = x]$$

$$= \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | X_i = c]$$

注意：RDD 仅识别阈值处的局部效应，对远离阈值的个体不做因果推断。

2.2 图形分析

RDD 的最直观呈现是散点图 + 拟合曲线：以 $X_i$ 为横轴，$Y_i$ 为纵轴，在阈值两侧拟合回归曲线，观察阈值处是否出现不连续跳跃。

好的 RDD 图：

  • 阈值附近有可见的跳跃
  • 两侧趋势平滑（无非线性结构）
  • 数据密度在阈值处无明显跳跃（否则提示操纵）

3 估计方法：局部多项式估计器

3.1 局部线性回归

给定带宽 $h > 0$，对 $x \in [c-h, c+h]$ 内的样本分别在阈值两侧做线性回归：

右侧回归（$X_i \in [c, c+h]$）：

$$Y_i = \alpha_R + \beta_R (X_i - c) + \varepsilon_i$$

左侧回归（$X_i \in [c-h, c]$）：

$$Y_i = \alpha_L + \beta_L (X_i - c) + \varepsilon_i$$

RDD 估计量：$\hat\tau = \hat\alpha_R - \hat\alpha_L$（两条回归线在 $c$ 处的截距之差）

通常使用核加权（kernel weighting），给距阈值更近的观测更高权重（三角核或矩形核）：

$$w_i = K\left(\frac{X_i - c}{h}\right)$$

3.2 局部多项式（$p$ 阶）

更一般地，可用 $p$ 阶局部多项式。局部线性（$p=1$） 在实践中最常推荐（Gelman & Imbens, 2019）：

  • 相比局部常数（$p=0$），局部线性对设计变量密度函数的依赖更小（边界校正好）
  • 相比高阶多项式（$p \geq 2$），局部线性不容易过拟合，置信区间覆盖率更好
  • Gelman & Imbens（2019）明确反对使用全局高次多项式（$p \geq 4$）进行RDD估计

3.3 最优带宽选择（CCT方法）

带宽选择是RDD估计的核心问题：

  • 带宽过小：样本量少，估计量方差大
  • 带宽过大：非阈值区域混入，偏差增大

Calonico, Cattaneo & Titiunik（CCT，2014） 提出了 RDD 最优带宽的均方误差最小化选法：

$$h_{\text{MSE}}^* = \arg\min_h \left[\text{Bias}(\hat\tau, h)^2 + \text{Var}(\hat\tau, h)\right]$$

CCT带宽选择公式（局部线性情形）：

$$h^* = C_n \cdot \left(\frac{\sigma_+^2(c) + \sigma_-^2(c)}{(m_+’’(c))^2 + (m_-’’(c))^2}\right)^{1/5} \cdot n^{-1/5}$$

其中 $\sigma_{\pm}^2(c)$ 是阈值两侧的条件方差，$m_{\pm}’’(c)$ 是条件均值函数的二阶导数（代表曲率/偏差）。

推断校正：CCT 还提出了偏差校正置信区间（bias-corrected confidence intervals），解决了传统带宽下推断保守性不一致的问题，已成为当前实践标准。

软件实现（推荐）：

library(rdrobust)
# 默认CCT带宽的局部多项式RDD
rd_fit <- rdrobust(y = Y, x = X, c = cutoff)
summary(rd_fit)

# 展示带宽范围的稳健性
rdbwselect(y = Y, x = X, c = cutoff)

4 Fuzzy RDD

4.1 模型设置

Fuzzy RDD：当运行变量越过阈值时，处理概率出现不连续跳跃，而非完美确定处理（可能存在不服从）：

$$P(D_i = 1 | X_i = x) = \begin{cases} p_+(x) & x \geq c \ p_-(x) & x < c \end{cases}$$

且 $\lim_{x \downarrow c} p_+(x) \neq \lim_{x \uparrow c} p_-(x)$（跳跃存在）。

4.2 Fuzzy RDD 作为 IV 估计

Fuzzy RDD 可视为以越过阈值 $Z_i = \mathbf{1}[X_i \geq c]$ 为工具变量、以实际处理 $D_i$ 为内生变量的 IV 估计：

$$\tau_{\text{Fuzzy}} = \frac{\lim_{x \downarrow c}\mathbb{E}[Y_i | X_i=x] - \lim_{x \uparrow c}\mathbb{E}[Y_i | X_i=x]}{\lim_{x \downarrow c}\mathbb{E}[D_i | X_i=x] - \lim_{x \uparrow c}\mathbb{E}[D_i | X_i=x]}$$

分子是结果的跳跃，分母是处理概率的跳跃（“第一阶段”）。Fuzzy RDD 识别的是阈值处顺从者的局部平均处理效应：

$$\tau_{\text{Fuzzy}} = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | X_i = c, \text{complier}]$$

5 有效性检验（Validity Tests）

RDD 的识别依赖连续性假设，需通过以下检验进行验证：

5.1 操纵检验（McCrary Density Test）

问题：若个体能精确控制运行变量，可能"操纵"自己越过（或不越过）阈值，导致阈值处的潜在结果分布不连续，识别假设失效。

McCrary（2008）密度检验：若存在操纵，阈值处观测密度将出现不连续性——门槛以上"堆积"（bunching）或门槛以下"缺失"。

零假设：$\lim_{x \downarrow c} f(x) = \lim_{x \uparrow c} f(x)$（密度在阈值处连续）

library(rddensity)
rddensity_fit <- rddensity(X = X, c = cutoff)
rdplotdensity(rddensity_fit, X)

5.2 协变量连续性检验（Covariate Smoothness）

以前定变量（predetermined covariates） $Z_i$（在处理前确定的特征）作为结果变量，检验其在阈值处是否有跳跃。若 $Z_i$ 在阈值处跳跃，说明阈值附近的两组个体在处理前已系统性不同，连续性假设可疑。

# 对每个协变量做RDD
rdrobust(y = Z1, x = X, c = cutoff)
rdrobust(y = Z2, x = X, c = cutoff)

5.3 安慰剂截断点检验（Placebo Cutoff Tests）

在非真实截断点（如 $c \pm \delta$）处重复RDD估计，检验是否出现异常跳跃。若非真实截断点也有显著跳跃，提示结果的跳跃并非处理引起。

5.4 带宽稳健性检验

在不同带宽 $h \in {0.5h^, h^, 2h^*}$ 下重复估计，报告点估计和置信区间的稳定性。一个可靠的RDD结论应在合理带宽范围内保持稳健。

6 RDD 的局限与扩展

6.1 主要局限

  1. 仅识别局部效应：政策含义受限，只对阈值附近个体有效，外推性弱
  2. 阈值附近样本量有限：精度可能较低，尤其在样本量有限时
  3. 需要识别假设不可检验：连续性假设本身无法直接验证，只能通过间接证据支持

6.2 扩展方向

地理断点回归（Geographic RDD）：以地理边界（如行政边界）作为"阈值"，如研究边境两侧的政策效应差异。

时间断点回归（Event Study / Time RDD）：以时间阈值作为运行变量，研究某政策实施前后的效应（与DID密切相关）。

带协变量的RDD：将协变量 $Z_i$ 加入局部线性回归（Lin, 2013的思路），可减小方差，提升精度（但不改变识别策略）。

7 小结与实践清单

RDD 实证研究的标准流程：

  1. ✅ 绘制RDD图：散点bin-plot + 分组拟合曲线，直观检验跳跃
  2. ✅ McCrary密度检验：排除运行变量操纵
  3. ✅ 协变量平衡检验：验证阈值附近的可比性
  4. ✅ CCT最优带宽：使用默认带宽估计主要结果
  5. ✅ 偏差校正置信区间：使用CCT推断方法
  6. ✅ 带宽稳健性：报告不同带宽下的估计值
  7. ✅ 安慰剂截断点：排除虚假跳跃
  8. ✅ 局部多项式次数稳健性：比较 $p=1$ 和 $p=2$ 的结果

参考文献

  • Thistlethwaite, D., & Campbell, D. (1960). Regression-discontinuity analysis: An alternative to the ex post facto experiment. Journal of Educational Psychology, 51(6), 309–317.
  • Imbens, G., & Lemieux, T. (2008). Regression discontinuity designs: A guide to practice. Journal of Econometrics, 142(2), 615–635.
  • Calonico, S., Cattaneo, M. D., & Titiunik, R. (2014). Robust nonparametric confidence intervals for regression-discontinuity designs. Econometrica, 82(6), 2295–2326.
  • McCrary, J. (2008). Manipulation of the running variable in the regression discontinuity design: A density test. Journal of Econometrics, 142(2), 698–714.
  • Gelman, A., & Imbens, G. (2019). Why high-order polynomials should not be used in regression discontinuity designs. JBES, 37(3), 447–456.
  • Cattaneo, M. D., Idrobo, N., & Titiunik, R. (2020). A Practical Introduction to Regression Discontinuity Designs. Cambridge University Press.