1 为什么相关不等于因果

统计学与机器学习的传统目标是发现变量之间的关联（association）：$P(Y | X)$ 告诉我们在 $X$ 取某值时 $Y$ 的分布是什么。但许多重要的政策与科学问题需要的是因果推断（causal inference）：如果我主动干预，令 $X$ 从 $x_0$ 变为 $x_1$，$Y$ 会如何变化？

经典反例：

• 冰淇淋销量 $X$ 与溺水人数 $Y$ 高度正相关——夏天两者都增加，但减少卖冰淇淋不能减少溺水
• 医院住院 $X$ 与死亡率 $Y$ 正相关——因为重病者更多入院，而不是医院让人更容易死
• 教育 $X$ 与收入 $Y$ 正相关——可能因为家庭背景、能力等混杂因素同时影响两者

识别因果关系需要超越回归的思维框架。

2 潜在结果框架（Potential Outcomes Framework）

2.1 潜在结果的定义

Neyman（1923）-Rubin（1974/1990）潜在结果框架（POF，也称Rubin Causal Model, RCM） 是现代计量经济学和统计学中最主流的因果推断框架。

核心概念：

对于每个个体 $i$ 和处理变量 $D \in {0, 1}$（$D=1$ 表示"受处理"，$D=0$ 表示"对照"），定义：

• $Y_i(1)$：个体 $i$ 在接受处理情况下的潜在结果（potential outcome）
• $Y_i(0)$：个体 $i$ 在未接受处理情况下的潜在结果

个体因果效应（Individual Treatment Effect, ITE）：

$$\tau_i = Y_i(1) - Y_i(0)$$

因果推断的基本问题（Fundamental Problem of Causal Inference，Holland, 1986）：

对于每个个体，在同一时点只能观察到其中一个潜在结果，另一个是反事实（counterfactual），永远无法直接观测！

$$Y_i^{\text{obs}} = D_i \cdot Y_i(1) + (1 - D_i) \cdot Y_i(0)$$

即：观测结果是反事实的"被选择"。

2.2 SUTVA假设

稳定单元处理值假设（Stable Unit Treatment Value Assumption, SUTVA） 包含两部分：

1. 无干扰（no interference）：个体 $i$ 的潜在结果不受其他个体处理状态的影响，即 $Y_i(D_i, D_{-i}) = Y_i(D_i)$
2. 一致版本（consistency / single version of treatment）：处理是明确定义的，不存在不同"版本"——$D_i = 1 \Rightarrow Y_i^{\text{obs}} = Y_i(1)$

SUTVA在网络效应、溢出效应存在时会被违反（如疫苗接种的群体免疫效应）。

3 处理效应的定义

3.1 平均处理效应（ATE）

总体平均处理效应（Average Treatment Effect）：

$$\text{ATE} = \mathbb{E}[\tau_i] = \mathbb{E}[Y_i(1)] - \mathbb{E}[Y_i(0)]$$

ATE衡量总体中随机抽取一个个体接受处理的平均效应，是政策评估中最常用的参数。

3.2 处理组平均处理效应（ATT）

处理组平均处理效应（Average Treatment Effect on the Treated）：

$$\text{ATT} = \mathbb{E}[\tau_i | D_i = 1] = \mathbb{E}[Y_i(1) | D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i(0) | D_i = 1]$$

ATT衡量实际接受处理的个体的平均效应——对政策的受益人更具直接意义。

注意 $\text{ATT} \neq \text{ATE}$：当处理分配与潜在结果相关（选择性处理）时，处理组通常不代表总体。

3.3 局部平均处理效应（LATE）

当处理内生（endogenous）时，工具变量方法识别的是局部平均处理效应（Local Average Treatment Effect）（Angrist & Imbens, 1994）：

$$\text{LATE} = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | \text{compliers}]$$

其中"顺从者（compliers）“是指受到工具变量影响才改变处理状态的个体子群。LATE通常介于ATE和ATT之间，是工具变量方法的"自然解释”。

4 选择偏差问题

4.1 对均值差的分解

**观测均值差（simple difference in means, SDM）**分解：

$$\underbrace{\mathbb{E}[Y_i^{\text{obs}} | D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i^{\text{obs}} | D_i = 0]}{\text{观测均值差}} = \underbrace{\mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | D_i = 1]}{\text{ATT（真实效应）}} + \underbrace{\mathbb{E}[Y_i(0) | D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i(0) | D_i = 0]}_{\text{选择偏差（selection bias）}}$$

选择偏差（selection bias） $= \mathbb{E}[Y_i(0) | D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i(0) | D_i = 0]$

这是处理组和对照组在潜在结果 $Y(0)$ 上的系统性差异，反映了非随机处理分配导致的混淆。

例子：评估职业培训项目（$D=1$）对工资（$Y$）的影响：

• 参与培训者（$D=1$）可能本就更有动力、更有能力——即便没有培训，他们的工资也可能更高
• 因此 $\mathbb{E}[Y_i(0) | D_i=1] > \mathbb{E}[Y_i(0) | D_i=0]$，OLS估计高估培训的真实效应

4.2 混淆因子（Confounders）

混淆因子（confounder） $X_i$ 同时影响处理 $D_i$ 和结果 $Y_i$：

$$X_i \to D_i, \quad X_i \to Y_i$$

当存在未测量的混淆因子时，普通回归分析无法一致估计因果效应。消除混淆是因果推断的核心挑战。

5 随机化实验：消除选择偏差的黄金标准

5.1 随机对照实验（RCT）

随机化处理分配：$D_i \perp (Y_i(0), Y_i(1))$（处理独立于潜在结果）

在RCT中：

$$\mathbb{E}[Y_i^{\text{obs}} | D_i = 1] - \mathbb{E}[Y_i^{\text{obs}} | D_i = 0] = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0)] = \text{ATE}$$

选择偏差为零！随机化通过"打断"处理与潜在结果的相关性，使处理组和对照组在所有可观测和不可观测特征上平均相同。

5.2 为什么需要超越RCT

尽管RCT是确立因果关系的黄金标准，但许多重要情境下RCT不可行：

• 伦理限制：随机让某些人吸烟
• 现实限制：随机分配国家的政策
• 成本限制：大规模社会项目的随机化费用高昂
• 历史研究：已发生的政策无法重新随机分配

这促使了准实验方法（quasi-experimental methods） 的发展：断点回归、双重差分、工具变量……

6 无混淆条件与识别策略

6.1 有条件独立假设（CIA）/ 无混淆性

假设（Unconfoundedness / CIA）：

$$Y_i(0), Y_i(1) \perp D_i \mid X_i$$

即在条件控制可观测协变量 $X_i$ 后，处理分配独立于潜在结果。

当CIA成立时，ATE和ATT均可识别：

$$\text{ATE} = \mathbb{E}_X\left[\mathbb{E}[Y | D=1, X] - \mathbb{E}[Y | D=0, X]\right]$$

CIA成立的充分条件：所有混淆因子均在 $X_i$ 中被测量和控制。这是选择可观测（selection on observables） 的假设。

6.2 重叠支撑假设（Overlap / Common Support）

$$0 < P(D_i = 1 | X_i) < 1$$

即在协变量的每个值处，处理组和对照组均有观测值，否则某些子群的反事实无法推断。

CIA + Overlap = 强可忽略性假设（Strong Ignorability, Rosenbaum & Rubin, 1983）

7 因果效应的估计方法概览

8 因果效应的异质性

异质处理效应（Heterogeneous Treatment Effects, HTE）：现实中因果效应通常随个体特征变化。

条件平均处理效应（CATE）：

$$\tau(x) = \mathbb{E}[Y_i(1) - Y_i(0) | X_i = x]$$

机器学习方法（广义随机森林、双重去偏ML等）近年来大幅提升了CATE的非参数估计能力，是现代因果机器学习的核心目标（详见因果机器学习篇）。

参考文献

• Rubin, D. B. (1974). Estimating causal effects of treatments in randomized and nonrandomized studies. Journal of Educational Psychology, 66(5), 688–701.
• Neyman, J. (1923). On the application of probability theory to agricultural experiments. Statistical Science (1990 translation), 5(4), 465–480.
• Holland, P. W. (1986). Statistics and causal inference. JASA, 81(396), 945–960.
• Angrist, J., & Imbens, G. (1994). Identification and estimation of local average treatment effects. Econometrica, 62(2), 467–475.
• Rosenbaum, P., & Rubin, D. (1983). The central role of the propensity score in observational studies for causal effects. Biometrika, 70(1), 41–55.
• Imbens, G., & Rubin, D. (2015). Causal Inference for Statistics, Social, and Biomedical Sciences. Cambridge University Press.