1. 核心问题

很多宏观与金融变量本身非平稳，但它们可能存在长期均衡关系。
若直接差分，会丢失长期信息；若直接回归，又可能伪回归。

2. 协整与误差修正

若 $x_t,y_t\sim I(1)$，但存在 $\beta$ 使

$$ \epsilon_t = y_t - \beta x_t \sim I(0) $$

则称二者协整。

VECM 形式：

$$ \Delta y_t = \Pi y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i \Delta y_{t-i}+u_t $$

其中 $\Pi$ 包含长期均衡信息，短期偏离由误差修正项拉回。

3. Python 示例

from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen, VECM

# 1) Johansen 协整秩检验
jres = coint_johansen(df[["y", "x1", "x2"]], det_order=0, k_ar_diff=2)
print(jres.lr1)   # trace statistics
print(jres.cvt)   # critical values

# 2) 估计 VECM
vecm = VECM(df[["y", "x1", "x2"]], k_ar_diff=2, coint_rank=1, deterministic="co")
res = vecm.fit()
print(res.summary())

4. 结果解释

1. 协整向量：长期均衡关系系数。
2. 调整系数：系统偏离均衡后回归速度。
3. 短期参数：增量层面的动态效应。

5. 常见错误

1. 不先做单位根检验就盲目上 VECM。
2. 协整秩选择只看单一统计量。
3. 把长期关系系数误解为短期弹性。

协整框架的价值在于：允许“短期漂移 + 长期约束”并存，更接近经济系统真实机制。