1 博弈的形式化表述

一个标准式博弈（normal-form game / strategic-form game）由三元组 $G = \langle N, {S_i}{i \in N}, {u_i}{i \in N} \rangle$ 定义：

• $N = {1, 2, \ldots, n}$：参与人（player）集合
• $S_i$：参与人 $i$ 的策略空间（strategy space），策略组合空间 $S = \prod_{i \in N} S_i$
• $u_i : S \to \mathbb{R}$：参与人 $i$ 的收益函数（payoff function / utility function）

博弈信息结构的基本假设（完全信息静态博弈）：

1. 完全信息：所有参与人的策略空间和收益函数均为公共知识（common knowledge）
2. 同时行动（或等价地，行动前无法观察他人选择）
3. 理性：每个参与人追求自身期望收益最大化，且这一点也是公共知识

公共知识的定义：命题 $p$ 是公共知识当且仅当：所有人知道 $p$，所有人知道所有人知道 $p$，……以无穷后退的方式成立。这一条件由 David Lewis（1969）和 Robert Aumann（1976）正式化。

2 优势策略与可理性化策略

2.1 严格优势策略

策略 $s_i’ \in S_i$ 严格优势于 $s_i \in S_i$，若对所有 $s_{-i} \in S_{-i}$，有

$$u_i(s_i’, s_{-i}) > u_i(s_i, s_{-i})$$

此时称 $s_i$ 是参与人 $i$ 的严格劣势策略（strictly dominated strategy）。理性参与人永远不会选择严格劣势策略。

弱优势（weak dominance）将上式中的严格不等号改为 $\geq$，且至少存在一个 $s_{-i}$ 使严格不等号成立。

2.2 迭代消除严格劣势策略（IESDS）

方法：重复移除各参与人的严格劣势策略，直至无策略可消除。最终残余集合 $S^{\infty}$ 称为理性化策略集（rationalizable strategies）。

IESDS的关键性质：

• 消除顺序无关紧要（order-independence）——严格劣势策略的消除结论与操作顺序无关（Moulin, 1984）
• $S^{\infty}$ 可能包含多个策略组合，不一定唯一
• $S^{\infty}$ 等价于可理性化策略集（Bernheim, 1984; Pearce, 1984）

经典案例：囚徒困境

对参与人1而言：无论对方选何，选 $D$ 的收益严格大于选 $C$（$5>3$ 且 $1>0$）。故 $C$ 被严格优势消除。对参与人2对称。IESDS得唯一结果 $(D, D)$。

2.3 弱优势消除的陷阱

弱优势消除不具备顺序无关性，不同的消除顺序可能得出不同的残余集。这是弱优势劣于严格优势的关键所在。

3 纳什均衡

3.1 定义

定义（纳什均衡）：策略组合 $s^* = (s_1^, \ldots, s_n^) \in S$ 是一个纳什均衡（Nash Equilibrium, NE），若对所有 $i \in N$ 和所有 $s_i \in S_i$：

$$u_i(s_i^, s_{-i}^) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*)$$

等价地，$s_i^$ 是对 $s_{-i}^$ 的最优反应（best response）：$s_i^* \in BR_i(s_{-i}^*)$，其中

$$BR_i(s_{-i}) = \arg\max_{s_i \in S_i} u_i(s_i, s_{-i})$$

直觉解释：纳什均衡是所有参与人同时"没有偏离动机"的策略组合。给定他人策略，每人的选择已是最优反应，因此没有任何参与人愿意单方面改变。

自我实现的预测（self-fulfilling prophecy）：若所有参与人相信均衡将发生，那么均衡确实会发生——纳什均衡是唯一满足这一性质的策略组合概念。

3.2 存在性：纳什定理

定理（Nash, 1950, 1951）：任何有限博弈（$N$ 和所有 $S_i$ 均为有限集）至少存在一个混合策略纳什均衡。

证明思路（利用不动点定理）：

令 $\Delta(S_i)$ 为 $S_i$ 上的概率分布集（混合策略空间），$\sigma_i \in \Delta(S_i)$。定义如下对应（correspondence）：

$$\Phi(\sigma) = \prod_{i=1}^{n} BR_i(\sigma_{-i})$$

需要证明：

1. $\Phi$ 将凸紧集 $\prod_i \Delta(S_i)$ 映射到自身
2. $\Phi(\sigma)$ 对每个 $\sigma$ 是非空凸集
3. $\Phi$ 有上半连续（upper hemicontinuous）的图

满足上述条件后，Kakutani（1941）不动点定理保证存在 $\sigma^$ 使得 $\sigma^ \in \Phi(\sigma^*)$，即混合策略纳什均衡。$\blacksquare$

关键推论：若博弈存在有限个纯策略均衡和混合策略均衡，总数（计重数）通常为奇数（Wilson, 1971）。

3.3 纯策略纳什均衡的计算

方法：最优反应法

对 2×2 双矩阵博弈，计算步骤：

1. 对参与人1，在每一列找行中的最大值（标记）
2. 对参与人2，在每一行找列中的最大值（标记）
3. 双方都被标记的格子即为纯策略纳什均衡

示例：性别战（Battle of the Sexes）

• 参与人1在列 F 选 F（收益2>0），在列 B 选 B（收益1>0）
• 参与人2在行 F 选 F（收益1>0），在行 B 选 B（收益2>0）
• 纯策略NE：$(F, F)$ 和 $(B, B)$——均衡多重性（multiple equilibria）

4 混合策略纳什均衡

4.1 混合策略的定义

纯策略：确定性选择，$s_i \in S_i$

混合策略：$\sigma_i \in \Delta(S_i)$，即 $S_i$ 上的概率分布。若 $S_i = {a_1, \ldots, a_k}$，则 $\sigma_i = (p_1, \ldots, p_k)$，$p_j \geq 0$，$\sum_j p_j = 1$。

期望收益：

$$u_i(\sigma) = \sum_{s \in S} \left(\prod_{j=1}^{n} \sigma_j(s_j)\right) u_i(s)$$

4.2 混合策略均衡的计算原则

无差异原则（indifference principle）：若参与人 $i$ 在均衡中以正概率混合两个或多个纯策略，则这些纯策略在对方的均衡混合策略下必须给 $i$ 带来相同的期望收益。

推导：若 $u_i(a, \sigma_{-i}^) > u_i(b, \sigma_{-i}^)$，则参与人 $i$ 会将所有权重置于 $a$，不会给 $b$ 正概率。故混合时两者收益相等。

4.3 计算示例：性别战的混合策略均衡

设参与人1以概率 $p$ 选 F，参与人2以概率 $q$ 选 F。

参与人2的无差异条件（对参与人2而言，F 和 B 收益相等）：

$$u_2(F \mid \sigma_1) = u_2(B \mid \sigma_1)$$ $$p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 = p \cdot 0 + (1-p) \cdot 2$$ $$p = 2 - 2p \implies p = \frac{2}{3}$$

参与人1的无差异条件：

$$q \cdot 2 + (1-q) \cdot 0 = q \cdot 0 + (1-q) \cdot 1$$ $$2q = 1 - q \implies q = \frac{1}{3}$$

混合策略均衡：$\sigma^* = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

期望收益：$u_1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 + \ldots = \frac{2}{3}$，$u_2 = \frac{2}{3}$

性别战共有三个纳什均衡：$(F,F)$、$(B,B)$ 和上述混合策略均衡。

4.4 混合策略的合理解释

混合策略均衡的直觉解释常令人困惑。三种主流解读：

1. 随机化的理性化：在对手无法预测自己行动的情况下，随机化具有策略价值（如足球点球博弈）
2. 频率解释（population interpretation）：大量同质参与人的策略分布，而非单个参与人的随机化
3. 信念的纯化（Harsanyi purification）：混合策略均衡是完全信息博弈的极限，当每个参与人对自身收益有微小私有信息时，纯策略均衡近似混合策略均衡（Harsanyi, 1973）

5 均衡选择问题

当博弈存在多个纳什均衡时，需要额外标准进行均衡选择（equilibrium selection）。

5.1 占优均衡（Dominant Equilibrium）

若某纳什均衡由每个参与人的占优策略构成（如囚徒困境的 $(D,D)$），则该均衡具有特殊的稳健性，不依赖于均衡信念。

5.2 帕累托上策均衡（Pareto-Superior Equilibrium）

若均衡 $s^{}$ 对每个参与人的收益都弱优于（且至少对一人严格优于）均衡 $s^*$，则 $s^{}$ 帕累托优于 $s^*$。协调博弈的分析通常优先选择帕累托上策。

5.3 风险优势（Risk Dominance）

Harsanyi & Selten（1988）提出，在 2×2 博弈中，若

$$[u_1(s_1^, s_1^) - u_1(s_1’, s_1^)] \cdot [u_2(s_1^, s_1^) - u_2(s_1^, s_1’)] > [u_1(s_1’, s_1’) - u_1(s_1^, s_1’)] \cdot [u_2(s_1’, s_1’) - u_2(s_1’^, s_1’)]$$

则均衡 $(s_1^, s_1^)$ 风险优势于 $(s_1’, s_1’)$。风险优势均衡是对对方策略不确定时的"更安全"选择。

5.4 颤抖手完美均衡

定义（Selten, 1975）：策略组合 $\sigma^$ 是颤抖手完美均衡（trembling-hand perfect equilibrium），若存在序列 ${\epsilon_k} \to 0$ 使得：对每个 $k$，存在完全混合策略均衡 $\sigma^k$（所有纯策略均以至少 $\epsilon_k$ 的概率被选），且 $\sigma^k \to \sigma^$。

颤抖手完美均衡排除了某些"不合理"的纳什均衡——那些仅在对手绝不犯错时才是最优的策略。

6 应用：经典博弈模型

6.1 百分比博弈（Percentage Beauty Contest）

每个参与人从 $[0, 100]$ 中选一个数，最接近所有人选数平均值的2/3者获胜。若所有人选 $x$，则目标为 $\frac{2}{3}x$，偏差为零需要 $x = \frac{2}{3}x$，即 $x = 0$。

此博弈有唯一纳什均衡：所有人选 $0$。但通过层级推理（level-k reasoning）可解释实验中观察到的分布：

• Level-0：随机选，均值约50
• Level-1：猜Level-0选50，选 $\frac{2}{3} \cdot 50 \approx 33$
• Level-2：猜Level-1选33，选 $\frac{2}{3} \cdot 33 \approx 22$
• Level-$k$：$50 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^k \to 0$

6.2 公共噪声博弈（Public Goods Game）

$n$ 个参与人，每人拥有禀赋 $e$，选择贡献 $g_i \in [0, e]$。公共品总量为 $G = \sum_i g_i$，每人从 $G$ 获益 $r \cdot G / n$（$r > 1$ 为回报率）。个人收益：

$$u_i(g_i, G) = e - g_i + r \cdot \frac{G}{n} = e - g_i + \frac{r}{n}\left(g_i + \sum_{j \neq i} g_j\right)$$

当 $r < n$ 时，$\frac{r}{n} < 1$，每增加一单位贡献个人损失 $1 - \frac{r}{n} > 0$，故不贡献 $(g_i = 0)$ 是严格优势策略，纳什均衡为 $(0, 0, \ldots, 0)$——显著低于帕累托最优 $(e, e, \ldots, e)$。

7 小结：静态博弈的核心要点

静态博弈的理论框架在经济学、政治科学和生物学中有广泛应用，但现实决策往往涉及时间顺序和信息更新，这促使我们转向动态博弈理论。

参考文献

• Nash, J. (1950). Equilibrium points in n-person games. PNAS, 36(1), 48–49.
• Nash, J. (1951). Non-cooperative games. Annals of Mathematics, 54(2), 286–295.
• Harsanyi, J., & Selten, R. (1988). A General Theory of Equilibrium Selection in Games. MIT Press.
• Bernheim, D. (1984). Rationalizable strategic behavior. Econometrica, 52(4), 1007–1028.
• Selten, R. (1975). Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games. International Journal of Game Theory, 4(1), 25–55.