1 静态寡头博弈的基本框架

产业组织是博弈论最重要的应用领域之一。当市场中存在少数几家企业，每家企业的决策（价格或数量）都会显著影响其他企业的收益，战略互动不可忽视。本篇聚焦完全信息静态寡头博弈，即企业同时做出决策。

基本设定（二元寡头）：

• 企业 1 和 2，同质商品（homogeneous good）
• 反需求函数：$P(Q) = a - bQ$，其中 $Q = q_1 + q_2$（$a, b > 0$）
• 企业 $i$ 的总成本：$C_i(q_i) = c \cdot q_i$（边际成本恒为 $c$，且 $c < a$）
• 企业利润：$\pi_i = [P(Q) - c] \cdot q_i$

2 古诺数量竞争模型（Cournot, 1838）

2.1 模型假设

企业同时选择产量 $q_i \geq 0$，市场价格由总产量决定。这被称为数量竞争（quantity competition）。

2.2 利润函数与最优反应

企业 1 的利润：

$$\pi_1(q_1, q_2) = [a - b(q_1 + q_2) - c] q_1 = [(a-c) - bq_2] q_1 - bq_1^2$$

对 $q_1$ 求导，令一阶条件为零：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = (a - c) - bq_2 - 2bq_1 = 0$$

解得企业1的最优反应函数（best response function / reaction function）：

$$q_1^*(q_2) = \frac{a - c - bq_2}{2b} = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_2}{2}$$

图形上，$q_1^*(q_2)$ 是向右下倾斜的直线（strategies are strategic substitutes：他人产量增加，我的最优产量减少）。

由对称性，企业2的最优反应：

$$q_2^*(q_1) = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_1}{2}$$

2.3 古诺均衡的求解

纳什均衡由二者最优反应函数的交点确定：

$$q_1^C = q_2^C = \frac{a-c}{3b}$$

总产量：$Q^C = \frac{2(a-c)}{3b}$

均衡价格：$P^C = a - bQ^C = \frac{a + 2c}{3}$

单个企业利润：

$$\pi_i^C = [P^C - c] \cdot q_i^C = \frac{(a-c)^2}{9b}$$

验证：完全竞争时 $P=c$，垄断时 $P^M = \frac{a+c}{2}$，古诺均衡价格满足 $c < P^C < P^M$——寡头结果介于竞争与垄断之间。

2.4 推广至 $n$ 家对称企业

每家产量 $q^C = \frac{a-c}{b(n+1)}$，利润 $\pi^C = \frac{(a-c)^2}{b(n+1)^2}$

随 $n \to \infty$，$P^C \to c$（趋近完全竞争）；当 $n = 1$ 时退化为垄断。古诺模型给出了市场集中度与效率损失的清晰联系。

3 伯特兰价格竞争模型（Bertrand, 1883）

3.1 模型假设

企业同时设定价格 $p_i \geq 0$，产品同质。消费者购买最便宜的产品；若二者价格相同，各占一半市场。

需求分配规则：

$$D_i(p_1, p_2) = \begin{cases} D(p_i) & \text{若 } p_i < p_j \ \frac{1}{2}D(p_i) & \text{若 } p_i = p_j \ 0 & \text{若 } p_i > p_j \end{cases}$$

3.2 伯特兰悖论（Bertrand Paradox）

命题：若 $c_1 = c_2 = c$，则唯一纳什均衡为 $p_1^* = p_2^* = c$（边际成本定价）。

证明：

• 若 $p_j > c$，则企业 $i$ 可设 $p_i = p_j - \epsilon$ 赢取全部市场，获正利润——任何 $p_i > c$ 均非最优反应
• 若 $p_j = c$，则企业 $i$ 若设 $p_i > c$ 销量为0，若设 $p_i < c$ 获负利润，故 $p_i = c$ 是最优反应
• 故 $(p_1, p_2) = (c, c)$ 是唯一均衡 $\blacksquare$

悖论之处：仅需两家企业就可实现完全竞争结果。这与现实中价格高于边际成本的观察明显矛盾。

3.3 伯特兰悖论的解决方案

伯特兰悖论催生了大量工业组织理论扩展：

① 产品差异化（Product Differentiation）
若企业1和2生产替代但非同质产品，需求函数为

$$D_i(p_i, p_j) = a - bp_i + dp_j \quad (0 < d < b)$$

则均衡价格高于边际成本，差异化程度 $d$ 越小，价格竞争越激烈。

② 产能约束（Capacity Constraints, Edgeworth)
若企业产能有限（$\bar{q} < \frac{a-c}{2b}$），则无纯策略均衡——价格在区间内循环。此情形导致Edgeworth循环（Edgeworth, 1897）。

③ 搜索成本（Search Costs）
当消费者承担搜索成本时，市场可以持续呈现分散价格分布（Diamond, 1971；Stahl, 1989）。

④ 重复博弈（Repeated Interaction）
通过威胁未来惩罚，企业可维持高于边际成本的价格。（详见重复博弈篇）

4 斯坦伯格领导者模型（Stackelberg, 1934）

4.1 从静态转向动态

Stackelberg 模型中，企业1（领导者）先选产量，企业2（跟随者）观察后选产量。这已是动态博弈，但通过逆向归纳（backward induction）可转化为静态分析。

4.2 逆向归纳求解

第二阶段：企业2观察到 $q_1$ 后最大化利润：

$$q_2^*(q_1) = \frac{a - c - bq_1}{2b}$$

第一阶段：企业1预见到企业2的反应，将其代入自身利润：

$$\pi_1 = \left[a - b\left(q_1 + \frac{a-c-bq_1}{2b}\right) - c\right] q_1 = \frac{(a-c) - bq_1}{2} \cdot q_1$$

一阶条件：

$$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = \frac{a-c-2bq_1}{2} = 0 \implies q_1^S = \frac{a-c}{2b}$$

跟随者产量：

$$q_2^S = \frac{a-c-b \cdot \frac{a-c}{2b}}{2b} = \frac{a-c}{4b}$$

4.3 斯坦伯格均衡下的比较

斯坦伯格先动优势：领导者利润 $\frac{(a-c)^2}{8b} > \frac{(a-c)^2}{9b}$（古诺）。先动承诺有价值！

承诺效应：领导者通过产量承诺改变了博弈结构，“恐吓"追随者减产，本身扩产获利。此逻辑是承诺（commitment） 在博弈论中的核心作用。

5 市场进入与退出博弈

5.1 进入威慑（Entry Deterrence）

情形设定：在位企业（incumbent）I 和潜在进入者 E。若 E 进入，二者同时进行古诺竞争；若不进入，I 保持垄断。

进入者决策：进入的利润为 $\pi_E^C - f$（$f$ 为沉没进入成本），若 $\pi_E^C > f$ 则进入，否则不进入。

在位者策略：在位者能否通过威胁（threat）阻止进入？

关键分析：在完全信息下，若在位者宣称"若你进入我将大幅扩产直至驱逐你”，但该威胁需具有可置信性（credibility）。若扩产后在位者利润低于古诺利润，该威胁不可置信（非子博弈精炼），理性进入者不相信它。

5.2 沉没成本的承诺价值

若在位者事先投入沉没成本（如建设超大产能），则无论进入者是否进入，扩产的边际成本均已降低，威胁变得可置信。这是承诺性过度投资（overinvestment as commitment） 的博弈论解释（Spence, 1977; Dixit, 1980）。

6 差异化产品价格竞争：Hotelling 模型

6.1 线性城市模型（Hotelling, 1929）

• 消费者均匀分布于 $[0, 1]$ 区间（“线性城市”）
• 企业1位于 $0$，企业2位于 $1$
• 位于 $x$ 处的消费者购买企业1的效用：$v - p_1 - tx$（$t$ 为交通成本）
• 消费者向企业1购买当且仅当 $v - p_1 - tx \geq v - p_2 - t(1-x)$，即

$$\tilde{x}(p_1, p_2) = \frac{1}{2} + \frac{p_2 - p_1}{2t}$$

企业1市场份额为 $D_1 = \tilde{x}$，企业2为 $D_2 = 1 - \tilde{x}$。

6.2 价格均衡

利润 $\pi_i = (p_i - c) D_i$，一阶条件联立后得：

$$p_1^* = p_2^* = c + t$$

均衡利润：$\pi_i = \frac{t}{2}$

结论：差异化程度 $t$ 越大，价格越高，利润越高。这解释了企业为何有时会主动进行产品差异化以避免过度竞争。

7 总结：三种模型的比较框架

各模型均是古诺框架的扩展，反映了不同市场结构假设下的策略互动本质。

参考文献

• Cournot, A. (1838). Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses. Hachette.
• Bertrand, J. (1883). Théorie des richesses. Journal des Savants, 499–508.
• Stackelberg, H. v. (1934). Marktform und Gleichgewicht. Springer.
• Hotelling, H. (1929). Stability in competition. Economic Journal, 39(153), 41–57.
• Tirole, J. (1988). The Theory of Industrial Organization. MIT Press.
• Dixit, A. (1980). The role of investment in entry deterrence. Economic Journal, 90(357), 95–106.