1 完全信息与不完全信息的区别

到目前为止，我们分析的博弈均假设所有参与人的收益函数是公共知识（complete information）。现实中，这一假设极为强烈：

• 企业不知道竞争对手的真实成本
• 买家不知道卖家的保留价格
• 雇主不知道求职者的真实能力
• 政府不知道纳税人的真实收入

不完全信息（incomplete information）：某些影响决策的参数（收益、类型、偏好）是某参与人的私有信息，其他人不知道（但通常对其分布有信念）。

2 Harsanyi类型空间框架

2.1 类型（type）的引入

Harsanyi（1967–1968） 提出了处理不完全信息的标准框架：将每个参与人的私有信息浓缩为其类型 $\theta_i \in \Theta_i$（type）。类型完整刻画参与人的偏好、信念，及对他人信念的信念……（即信念层级，belief hierarchy）。

收益函数：包含类型的完整形式为 $u_i(a, \theta)$，依赖所有参与人的行动组合 $a$ 和类型组合 $\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_n)$。

2.2 先验分布与共同先验假设

设存在联合先验分布 $p(\theta) = p(\theta_1, \ldots, \theta_n)$，所有参与人对此分布的事实是公共知识（共同先验假设，common prior assumption）。

参与人 $i$ 的条件信念：在知道自己类型 $\theta_i$ 后，$i$ 对他人类型 $\theta_{-i}$ 的条件后验为：

$$p(\theta_{-i} | \theta_i) = \frac{p(\theta_i, \theta_{-i})}{p(\theta_i)}$$

2.3 贝叶斯博弈的标准式表述

贝叶斯博弈（Bayesian game）可表示为 $G = \langle N, {\Theta_i}, {A_i}, {u_i}, p \rangle$，其中：

• $\Theta_i$：参与人 $i$ 的类型空间
• $A_i$：行动空间
• $u_i(a, \theta)$：依赖类型的收益函数
• $p(\theta)$：类型的联合先验分布

3 贝叶斯纳什均衡

3.1 策略、期望收益与均衡定义

在贝叶斯博弈中，纯策略 $s_i : \Theta_i \to A_i$ 是类型到行动的映射（随类型而定的策略）。混合策略 $\sigma_i : \Theta_i \to \Delta(A_i)$。

参与人 $i$ 在类型 $\theta_i$ 下的期望收益（给定他人策略 $\sigma_{-i}$）：

$$U_i(\sigma_i(\theta_i), \sigma_{-i} | \theta_i) = \mathbb{E}{\theta{-i} | \theta_i}\left[u_i(\sigma_i(\theta_i), \sigma_{-i}(\theta_{-i}), \theta)\right]$$

定义（贝叶斯纳什均衡，BNE）：策略组合 $(\sigma_1^, \ldots, \sigma_n^)$ 是贝叶斯纳什均衡，若对所有 $i \in N$，所有 $\theta_i \in \Theta_i$：

$$\sigma_i^(\theta_i) \in \arg\max_{a_i \in A_i} \mathbb{E}{\theta{-i}|\theta_i}\left[u_i(a_i, \sigma_{-i}^(\theta_{-i}), \theta)\right]$$

直觉：每个类型的参与人，在对他人类型的信念下，选择最大化期望收益的行动。BNE是"期望收益最优反应的不动点"。

3.2 与纳什均衡的关系

可将贝叶斯博弈转化为等价的完全信息扩展博弈（Harsanyi的贡献）：将"类型 $\theta_i$ 的参与人 $i$" 视为独立的参与人，共 $\sum_i |\Theta_i|$ 个参与人，再对此大博弈求纳什均衡——这等价于原贝叶斯博弈的BNE。

4 计算：一阶价格密封拍卖

4.1 设置

两个投标人，估值 $v_i$ 在 $[0, 1]$ 上独立均匀分布，互相不知。双方同时提交标书 $b_i \geq 0$，出价高者以其出价成交，等价时随机分配。

4.2 对称线性均衡的推导

猜测对称线性均衡：$b^*(v) = \alpha v + \beta$（每个类型的参与人出价是自身估值的线性函数）。

参与人1出价 $b_1$，赢得拍卖当且仅当 $b_1 > b_2 = b^*(v_2)$，即 $v_2 < \frac{b_1 - \beta}{\alpha}$。

参与人1的期望利润（在 $v_2 \sim U[0,1]$ 下）：

$$\pi_1(b_1 | v_1) = (v_1 - b_1) \cdot \Pr\left(v_2 < \frac{b_1-\beta}{\alpha}\right) = (v_1 - b_1) \cdot \frac{b_1 - \beta}{\alpha}$$

对 $b_1$ 求导，令一阶条件为零：

$$-(b_1-\beta) + (v_1 - b_1) = 0 \implies 2b_1 = v_1 + \beta \implies b_1 = \frac{v_1 + \beta}{2}$$

与猜测 $b^*(v) = \alpha v + \beta$ 比较，得 $\alpha = \frac{1}{2}$，$\beta = \frac{\beta}{2}$，解得 $\beta = 0$。

对称线性BNE：

$$b^*(v) = \frac{v}{2}$$

含义：每个投标人出价正好是估值的一半——竞争使其无法过高出价，但为赢得拍卖又不能出价太低。

5 贝叶斯博弈中的战略效应

5.1 双边拍卖与贸易无效率（Myerson & Satterthwaite, 1983）

设置：卖方私有保留价格 $c \sim U[0,1]$，买方私有估值 $v \sim U[0,1]$，独立。若 $v > c$，则贸易创造剩余 $v - c > 0$，社会最优是交易。

结论（Myerson-Satterthwaite不可能定理）：不存在满足以下条件的机制：(1) 激励相容（个体不愿虚报私有信息）；(2) 个体理性（双方自愿参与）；(3) 预算平衡（不需外部补贴）；(4) 在所有类型对 $(v, c)$ 上实现最优贸易。

意义：私有信息本身就是贸易的障碍！即便潜在贸易是有效率的，信息不对称也可能使其无法完全实现。这是逆向选择问题的核心，也是市场失灵的博弈论基础。

5.2 信贷配给中的信息不对称

**Stiglitz & Weiss（1981）**模型：借款人的投资风险 $\theta$ 是私有信息。银行无区别贷款，利率 $r$ 提高时：

• 低风险借款人（期望收益低）逐渐退出市场（逆向选择）
• 存续借款人投更高风险项目（道德风险）

均衡：存在利率上限 $r^$，超过此水平银行反而降低利润。均衡下银行选择 $r^$ 而非市场出清利率，导致信贷配给——部分合理借款人拿不到贷款，即便愿意支付更高利率。

6 相关均衡：超越纳什均衡

6.1 相关均衡的定义（Aumann, 1974）

相关均衡（correlated equilibrium）弱于贝叶斯/纳什均衡，允许借助公共协调信号：

设存在相关设备发出信号 $s_i$ 给参与人 $i$（各人信号可相关）。收到 $s_i$ 后，参与人选择行动 $a_i$。策略 $\sigma_i : S_i \to A_i$ 形成相关均衡当且仅当：观察 $s_i$ 后，$\sigma_i(s_i)$ 是对他人策略和信号分布的最优反应。

性质：

• 每个纳什均衡都是相关均衡（退化情形）
• 相关均衡集是凸多面体（更易计算）
• 相关均衡可帕累托优于任何纳什均衡

例（鸡博弈/Chicken Game）：红绿灯作为协调机制——交通灯随机指示"谁先走"，双方遵从即构成相关均衡，其期望收益可高于任何纳什均衡。

7 小结：私有信息的核心影响

不完全信息博弈从根本上改变了均衡分析——私有信息使均衡策略成为类型的函数，信息结构决定了市场效率、制度设计的可能性边界。

参考文献

• Harsanyi, J. C. (1967–68). Games with incomplete information played by Bayesian players. Management Science, 14(3–5), 159–182, 320–334, 486–502.
• Aumann, R. J. (1974). Subjectivity and correlation in randomized strategies. Journal of Mathematical Economics, 1(1), 67–96.
• Myerson, R., & Satterthwaite, M. (1983). Efficient mechanisms for bilateral trading. Journal of Economic Theory, 29(2), 265–281.
• Stiglitz, J., & Weiss, A. (1981). Credit rationing in markets with imperfect information. American Economic Review, 71(3), 393–410.
• Akerlof, G. (1970). The market for “Lemons”: Quality uncertainty and the market mechanism. Quarterly Journal of Economics, 84(3), 488–500.