1 扩展式博弈的形式化表述

静态博弈无需规定行动顺序；而动态博弈（dynamic game / extensive-form game）显式刻画时间顺序和信息传递，是分析序贯决策的规范工具。

1.1 扩展式博弈的构成要素

扩展式博弈由以下要素构成：

1. 参与人集合 $N$（加上"自然" Nature，用于刻画随机事件）
2. 博弈树（game tree）：一棵有根的有向树，节点代表决策或终端结果
   • 决策节（decision node）：由某参与人采取行动
   • 终端节（terminal node / outcome）：博弈结束，各参与人获得收益
3. 行动集 $A(v)$：决策节 $v$ 处可采取的行动集合
4. 信息集（information set）$h$：参与人无法区分的决策节集合——体现信息结构
5. 收益函数 $u_i : Z \to \mathbb{R}$：$Z$ 为终端节集合

完美信息博弈（perfect information game）：每个信息集仅含一个节点，参与人知道历史上发生的所有行动。
不完美信息博弈（imperfect information game）：存在含多个节点的信息集，某些历史不可观测。

1.2 策略的精确定义

在扩展式博弈中，参与人 $i$ 的策略是对其每个信息集指定行动的完整计划（complete contingent plan）：

$$s_i : \mathcal{H}_i \to A \quad \text{s.t. } s_i(h) \in A(h) ; \forall h \in \mathcal{H}_i$$

即使某些信息集在实际博弈过程中永远不会被到达，策略也必须在那些信息集上规定行动。这一"完整性"要求看似多余，但对均衡精炼至关重要。

2 逆向归纳与子博弈精炼纳什均衡

2.1 逆向归纳法（Backward Induction）

适用条件：完美信息有限博弈（finite perfect information game）

算法：

1. 找到博弈树中所有直接前驱终端节的决策节（“倒数第一层"节点）
2. 在每个这样的节点处，选择使当前参与人利润最大化的行动
3. 将该节点视为已解，以最大收益作为"收益”，收缩为终端节
4. 对博弈树重复上述步骤，直至到达根节点

定理（Zermelo, 1913）：每个有限完美信息博弈有逆向归纳解，且有唯一逆向归纳结果（当所有收益严格有别时）。

2.2 子博弈精炼纳什均衡（SPNE）

Selten（1965） 提出了子博弈精炼均衡，将逆向归纳逻辑推广到不完美信息博弈。

定义（子博弈 subgame）：扩展式博弈的子博弈是一棵以某决策节 $v$ 为根的子树，满足：

• $v$ 所在信息集只包含 $v$（即 $v$ 处参与人知道博弈到了 $v$）
• 包含 $v$ 的子树中所有决策节的所有继承节均在子树内（信息集不被"割裂"）

定义（SPNE）：策略组合 $s^$ 是子博弈精炼纳什均衡，若 $s^$ 在每个子博弈上的限制都构成该子博弈的纳什均衡。

与逆向归纳的关系：有限完美信息博弈中，每个逆向归纳解都是SPNE；反之，每个SPNE的结果都与某个逆向归纳解一致。

3 不可置信威胁与承诺问题

3.1 最后通牒博弈（Ultimatum Game）

参与人1（提议者）提出分配 $(x, 1-x)$（$x$ 是自己保留的份额，总资源为1），参与人2（响应者）接受或拒绝；若拒绝，双方均获0。

SPNE分析（通过逆向归纳）：

• 第二阶段：参与人2面对提议 $x$。若 $1-x > 0$，则接受严格优于拒绝；若 $1-x = 0$，则无差异
• 第一阶段：参与人1预见到参与人2会接受任何 $x < 1$ 的提议，故提议 $x = 1 - \epsilon$（接近垄断）

唯一SPNE结果：参与人1提议 $x \approx 1$，参与人2接受（几乎独吞全部资源）。

实验结果的异常：大量实验表明，提议者通常给出约40-50%，响应者会拒绝低于20-30%的提议（Güth et al., 1982）。这挑战了纯自利的标准理论，引出了不平等厌恶（inequality aversion, Fehr & Schmidt, 1999）和互惠性（reciprocity）等行为博弈论模型。

3.2 市场进入博弈中的不可置信威胁

情形：市场中有在位者 I 和潜在进入者 E。

• 博弈树：E 先行动（进入/不进入），I 后行动（打价格战/接受）

收益矩阵（格式：E的收益, I的收益）：

SPNE分析：

• 若 E 进入，I 的最优反应是接受共存（$1 > -1$）——打价格战不可置信
• 预见到此，E 选择进入（$1 > 0$）

唯一SPNE：E 进入，I 接受共存。

不是SPNE的纳什均衡：策略组合"E不进入，I若E进入则打价格战"也是纳什均衡（给定I会打价格战，E选择不进入是最优；给定E不进入，I的策略无关紧要），但它依赖于不可置信的离均衡路径威胁，故不是SPNE。

4 连锁店悖论（Chain Store Paradox）

4.1 情形描述

Selten (1978) 提出的著名悖论：一家连锁店（in位者M）在 $n = 20$ 个城市经营，第 $k$ 个城市依次面对潜在进入者。若某进入者进入，M可选择合作（扩价共存）或打价格战。

单次博弈收益（进入者E, 连锁店M）：

• M打价格战：$(E: -2, M: -1)$
• M合作：$(E: 1, M: 1)$
• E不进入（M维持垄断）：$(E: 0, M: 2)$

4.2 逆向归纳的悖论

逆向归纳预测：

• 在**最后一个（第20个）**市场，M绝不会打价格战（因后续无博弈，合作收益1 > 打价格战 −1）
• 预见到此，第20个进入者一定进入
• 递推到第19个市场……对M没有威慑价值，同样进入
• 所有进入者都进入

现实直觉的反叛：若M在前期打价格战，建立"强硬"声誉，后期进入者可能被威慑。这种逻辑在有限重复博弈中被逆向归纳否定——但在不完全信息下（进入者不确定M是"强硬型"还是"弱型"），声誉效应可以恢复（详见不完全信息博弈篇）。

Selten 的"亲测直觉"：Selten 坦言，即便他推导出了逆向归纳结论，作为商人他仍会在前期打价格战。这一悖论促发了行为博弈论和有限理性建模的发展。

5 谈判博弈：Rubinstein交替出价模型

5.1 模型设定（Rubinstein, 1982）

两方参与人谈判分配"馅饼"（总量为1），以交替出价方式进行无限期讨价还价：

• 奇数期参与人1提议，参与人2接受/拒绝
• 偶数期参与人2提议，参与人1接受/拒绝
• 若接受，成交；若永远拒绝，双方均得0
• 折现因子：参与人 $i$ 的 $\delta_i \in (0, 1)$（每等待一期折损效用）

5.2 唯一SPNE的推导

利用平稳性（stationarity）：每次轮到参与人1提议，博弈结构完全相同。设均衡中参与人1获得份额 $x^$，参与人2获得 $1-x^$。

参与人2的接受条件：参与人1提议参与人2获得 $y$，参与人2接受当且仅当

$$y \geq \delta_2 \cdot (1 - x^*)$$

（$\delta_2 (1-x^*)$ 是等一期轮到参与人2提议时能获得的贴现效用）

参与人1的最优提议：给参与人2恰好使其无差异的份额 $y^* = \delta_2(1-x^)$，自己获 $1 - \delta_2(1-x^)$。

自相似性：参与人1在第1期提议中获得 $x^* = 1 - \delta_2(1-x^*)$，整理：

$$x^(1 - \delta_2) = 1 - \delta_2 \implies x^ = \frac{1-\delta_2}{1 - \delta_1 \delta_2}$$

5.3 均衡结论

唯一SPNE：参与人1立即提议 $\left(\frac{1-\delta_2}{1-\delta_1\delta_2},; \frac{\delta_2(1-\delta_1)}{1-\delta_1\delta_2}\right)$，参与人2接受。

当 $\delta_1 = \delta_2 = \delta$ 时：

$$x^* = \frac{1}{1+\delta}, \quad 1-x^* = \frac{\delta}{1+\delta}$$

当 $\delta \to 1$（双方均非常耐心）时，有 $x^* \to \frac{1}{2}$——近似平等分配。先动优势随耐心增加而减小。

含义：折现因子代表谈判耐心或"继续谈判的成本"。耐心越相近，谈判结果越对称；一方明显更不耐心，则另一方获益更大。

6 多阶段博弈的SPNE计算方法

步骤：

1. 识别所有子博弈：找出满足子博弈定义的所有节/子树
2. 从最小子博弈解起：先对"叶子层"子博弈求NE
3. 以子博弈均衡结果代替子博弈：将每个已解子博弈用其均衡收益替代，缩减博弈树
4. 递推至根：对缩减后的博弈再求NE，直至根节点

注意：SPNE不排除博弈均衡路径之外（off-path）的"任意"行为——只要实际均衡路径不受影响，离均衡行为规定可能不严格最优，只需在信息集上有合理解释即可（但颤抖手完美等更强精炼要求更多）。

7 小结与延伸

子博弈精炼均衡的核心贡献是引入了序贯理性（sequential rationality）：在博弈的每个时点、每个信息集上，参与人的行为都必须是最优的——不仅在均衡路径上，在任何可达的离均衡子博弈上亦然。这消除了不可置信的威胁和承诺。

但SPNE仍有局限：当信息集不是单点时（不完美信息），子博弈定义使得许多"直觉上不合理"的均衡无法被排除，需要进一步精炼（如序贯均衡、完美贝叶斯均衡），这正是信号博弈和不完全信息博弈分析的出发点。

参考文献

• Selten, R. (1965). Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells mit Nachfrageträgheit. Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft, 121, 301–324.
• Selten, R. (1978). The chain store paradox. Theory and Decision, 9(2), 127–159.
• Rubinstein, A. (1982). Perfect equilibrium in a bargaining model. Econometrica, 50(1), 97–109.
• Güth, W., Schmittberger, R., & Schwarze, B. (1982). An experimental analysis of ultimatum bargaining. Journal of Economic Behavior & Organization, 3(4), 367–388.
• Fudenberg, D., & Tirole, J. (1991). Game Theory. MIT Press.