联盟博弈的核 给定伴随可转移效用的博弈（N，v)，有两个重要问题需要研究：（1）哪个（些）联 盟将会出现？（2）联盟如何将价值分配给成员？第二个问题的答案将影响第一个问题的答 案。本章我们使用核这个概念来回答这些问题，核是合作博弈论的中心概念。我们用一些 例子说明TU博弈的核的重要性，并且给出关于这个关键解概念的一些重要结果。 联盟博弈的核 28.1核：定义与例子 核（core）是一个解概念，它是一组收益配置，其中每个配置都可能是给定TU博 弈的解。令N={1，"，n）为参与人集；（N，v）是一个伴随可转移效用的博弈，即 TU博弈。收益配置x=（xi，，xn）是R”中的任意向量。x;（i∈N）是参与人i的 收益（效用）。我们首先定义可行配置、个体理性配置、联盟理性配置以及集体理性配 置的概念。 定义28.1（可行配置）给定联盟C以及配置x=（x1，，x）∈R”，如果 ∑x;≤u(C) iEC 那么我们说配置对于联盟C是可行的（feasible）。 如果配置x对于联盟C是可行的，那么C的成员可以实现x中各自的配置，即瓜 分联盟C的价值v（C）。 定义28.2（理性配置）给定收益配置x=（x1，，cn），如果 xi≥u({i})V∈N

那么我们说配置x是个体理性的（individuallyrational）。 如果 ∑x;=u(N) iEN 那么我们说配置是集体理性的（collectivelyrational）。 如果 NA) iEC 那么我们说配置x是联盟理性的（coalitionallyrational）。 注意，联盟理性意味着个体理性。在上一章，我们定义了转归（imputation）概念。 可以看出，转归是一个满足个体理性和集体理性的收益配置。集体理性与（帕累托）效 率相同。 定义28.3（核）TU博弈的核（core），记为C（N，v），是满足联盟理性和集体理 性的所有收益配置组成的集合。 C（N,U)={（x1,.,xn）∈R”:> x;=u(N);∑xi≥u（C),CCN} iEC 换句话说，核是满足联盟理性的所有转归组成的集合。 定义28.4（阻止）给定联盟C以及配置x=（x1，，xn）∈R”，如果 博奔论与机制设计 u（C)>∑xi iEC 那么我们说联盟C能够改进（improve）配置x，或者说，联盟C能够阻止（block）配置x。 上面的定义意味着联盟C能改进配置x，当且仅当存在着某个配置使得y对于联 盟C可行而且使得C的每个成员的状况严格变好（即y>xi，ViEC)。 定义28.5（核：另外一个等价定义）TU博弈（N，v）的核是所有下述配置x组 成的集合：x对于N可行，而且不存在能改进x的联盟CCN。 对于核这个概念，我们可以做出下列一些重要观察。 注释给定对N可行的配置x，如果x不在核中，那么存在某个联盟C，使得C中 的成员可以通过瓜分联盟价值（C）来严格改善自己的状况，即使得自己的收益严格大 于自己在x情形下的收益。 注释如果配置在核中，那么这意味着对于任一参与人，单方面偏离的做法不 会严格改善他的收益。这意味着x是相应的合同信号博弈的一个纳什均衡。 注释核是一个让人喜欢的概念，原因在于下列假设：所有联盟都能有效协商。我 们可以将核中的每个配置视为参与人有效协商的结果。 注释TU博弈的核可以是空集。如果核是空的，那么我们不能对博弈下任何结 论。与此同时，如果核由大量元素组成，那么我们也很难选择核中的任何特定配置。 注释可以证明，TU博弈的核是凸且紧的。凸性和紧性是核满足的两个合意性 质。对于这个结果的证明，读者可以参考Maschler，Solan，and Zamir[1]。

口核：一些例子 例28.1（分钱博弈）对于分钱博弈（版本1），核C（N，v）为 {0<00+²+（)} 核对称地处理这三个参与人，而且核包括所有满足个体理性和帕累托效率的配置。 对于分钱博弈（版本2）（此时参与人1和2可以瓜分300元），核C（N，v）为 {（x1,x2,x3）)∈R²:x+x2=300,x1≥0,x2≥0,x=0} 对于分钱博弈（版本3）（此时参与人1和2可以瓜分300元，或者参与人1和3可 以瓜分300元），可以看出，核只有一个元素即（300，0，0）。 对于分钱博弈（版本4）（此时当任意两个参与人提出相同的分钱方案时，参与人 得到非零收益），可以看出，核是空的。下列两个观察说明了这种情形下空核为何是合 理的。首先，当任一参与人i在任一可行配置得到正的收益时，另外两个参与人的收益 之和必定小于300。其次，不管最终配置是怎样的，总存在着一个联盟使得如果这是参 与人最后一次议价，那么该联盟能严格改进上述配置。口 例28.2（三人TU博弈）这个例子来自参考文献[2]。在这里，N={1，2，3}， v（1）=v（2）=v（3）=0，v（12）=0.25，v（13）=0.5，v（23）=0.75，v（123）=1。注意， （x1，x2，x）∈C（N，v）当且仅当 x1≥0,x2≥0,x3≥0; x+x2≥0.25，x1+x3≥0.5，x2+x3≥0.75； x+x2+x=1。 联盟博弈的核 这意味着x1≤0.25，x2≤0.5，x3≤0.75。图28—1画出了这个博弈的核，它正好是一 个梯形，该梯形的顶点为（0，0.25，0.75）、（0，0.5，0.5）、（0.25，0，0.75）以及 (0.25，0.5，0.25)。 =0.75 (0.25,0,0.75) （0,0.25,0.75) C(N,v) x=0.25 （0,0.5,0.5) x=0.5 (0.25,0.5,0.25) 图28一1例28.2中博弈的核是一个梯形

例28.3（房屋配置）这个例子来自vonNeumannandMorgenstern3]。参与人1 有套房子要卖，他认为房子价值为1。参与人2和3都认为房子价值为2，他们（参与 人2和3）每人拥有的钱数也为2。假设参与人1将房子以价格p卖给参与人2，其中 1≤p≤2。于是，参与人1的效用为p，参与人2的效用为（2一p）十2=4一p，参与人 3的效用为2。参与人1将房子以价格p卖给参与人3（其中1≤p≤2）的情形类似。因 此，我们得到了下列特征型博弈： v（1）=1,（2）=2,v（3）=2，v（12)=v（13）=v（23）=4，（123）=6 配置（x1，x2，x3）∈C（N，v）当且仅当 x1≥1,x2≥2,x3≥2 x+x2≥4,x2+x3≥4,x+x3≥4 x+x2+x=6 满足上面所有式子的唯一配置是（2，2，2），这是核中的唯一元素。这对应着参与人1 以最大可能的价格（为2）卖掉房子。口 例28.4（最小生成树利润博奔的核）考虑例27.7中的最小生成树博弈： N={1,2,3} v（1）=5，（2)=9,v（3）=7,v（12）=15，（13）=12,（23）=17,v（123）=23 配置（1，x2，x）∈C（N，）当且仅当 博 x1≥5,x2≥9,x3≥7 论与机 x+x2≥15，x+x≥12,x2+x3≥13 x+x2+x=23 机 制 上面这些式子意味着核为 设计 {（x1，x2，x）:5<x<6,9<x2<11,7<x<8，x+x2+x=23} 显然这是一个不可数的无穷集。注意，正如我们预期的，参与人2的核配置是最高的， 而参与人1的核配置是最低的。口 例28.5（手套市场）这个例子说明在一些病态情形下，核可能非空。我们首先考 虑简单情形，然后将其推广。假设有5个手套供应商。参与人1和2每人供应一只左手 套，参与人3、4和5每人供应一只右手套，因此NL={1，2}，NR={3，4，5}。假设 每个联盟的价值等于联盟实现的配对数。例如，如果C={1，3），那么C的价值为1； 如果C={3，4)，那么C的价值为0。一般地，给定C≤N， （C)=min{CnNI，|CnN|} 可以看出，这个博弈的核是一个单点集{（1，1，0，0，0）}。 另一方面，如果N={1，2，3}，NR={4，5}，那么该博弈的核为单点集 {（0，0，0，1，1）}。如果集合N与NR有相同的基数，那么核的形式将完全不同。例 如，如果NL={1，2}，NR={3，4}，那么博弈的核将含有很多元素，特别地，其中一 个元素为(，，，)。

现在我们将这个例子推广到n=2000001的情形。其中1000000个参与人每人可 提供一只左手套，剩下的1000001个参与人每人可提供一只右手套。这个博弈的核将 含有唯一的配置x，使得 x=1若i∈NL =0若iENR 原因在于： A0000001+x IENL jENR(k} 假设某个右手套供应商在某个可行配置中有正的收益。于是，其余2000000个参与人 的总收益必定小于1000000。然而，注意，这2000000个参与人本来可以组成联盟， 从而配成1000000对，从而得到总收益1000000。这个例子的经济学解释如下。由于 右手套是超额供给的，因此市场价格为零。如果我们再增加两个左手套供应商，那么唯 一的核配置将变为 ;=0若iENL =1若iENR 在这个配置中，每个左手套供应商得到的收益为零，每个右手套供应商得到的收益为 1。现在假设左手套的供应商为1000000个，右手套的供应商也为1000000个，那么 这个博弈的核比较有趣，请读者自行观察。口 第 e核 章 我们已经看到，大型博弈（例如上例中的手套市场）可能不稳定，这个问题在某种 联 程度上可用e核（ecore）或e近似核（eapproximatecore）概念解决。给定任意数e≥ 博奔 0，配置x位于联盟博弈（N，v）的e核中当且仅当 的 ∑x;=u(N) 核 EN ∑xi≥u(C)-elCl C≤N iEC 如果配置x位于e核中，那么任何联盟C都不能改进x，这里的改进是：意义上的改进。 例28.6（手套市场的e核）对于例28.5中的手套市场，配置x位于e核中当且 仅当 min{x:iEN}+min{x:j∈NR}≥1-2e 这意味着左手套供应商和右手套供应商最差也要得到1一2e的总收益。当左手套供应商 为1000000个且右手套供应商为1000001个时，如果>0.0000005，那么对于任意数 入（其中0≤入≤1），配置x 入 是上述手套市场博弈的核。口

28.2博弈何时有非空的核 经典论文Shapley[4]以及Bondereva[5]利用线性规划，各自独立发现了拥有非空核 的博弈的特征。为了理解这个特征，我们首先考察与给定TU博弈（N，v）相伴的下 列线性规划问题： minx+x2+·.+xn s.t. Lx:≥u（C)，CCN; EC （x1，..，xn）∈R”。 上面的线性规划是说，为了使得任何联盟都不能改进配置（x1，，n），该配置的可 转移效用至少应为多少。注意，如果这个线性规划是可行的，那么它必定有解。原因在 于所有不等式都是大于或等于形式，而且在于这些不等式的结构。令（x，"，x”） 是这个线性规划的一个最优解。那么我们有 ∑x≥u(C)CCN iEC 特别地，我们有x十十x≥u（N）。这里有两种可能性： （1）x十…十x=v（N）。在这种情形下，这个线性规划的所有解构成了核C（N， )。事实上，核正是这个线性规划的解。 （2）x+…十x>u（N)。在这种情形下，核C（N，）显然是空的。 例28.7（分钱博弈）在分钱博弈（版本4）（多数同意规则下的投票博弈）中， N={1，2，3}，v（1）=v（2）=v（3）=0，v（12）=v（23）=v（13）=v（123）=300。于是， 线性规划为 minx+x+x3 s.t. x1x2,x30 x+x2≥300 x2+x300 x+x≥300 x+x+x≥300 C1,C2ER 这个线性规划的唯一最优解为 x=x2=x=150 由于x*+x+x=450>300=v（{1，2，3}），因此核是空的。 在分钱博弈（版本3）中，N={1，2，3}，v（1）=v（2）=v（3）=v（23）=0，v（12）=

v（13）=v（123）=300。于是，线性规划问题为 minx+x2+x3 s.t. x1,x2,x30 x+x2≥300 x+x≥300 x2+x≥0 x+x2+x≥300 这里的唯一最优解为 x²=300，x²=x=0 由于x十x2十x=300=v（N），因此核的唯一元素为（300，0，0）。 例28.8（分钱博弈的线性规划的对偶）我们首先考察多数同意规则下的投票博弈 的线性规划的对偶。对偶线性规划的目标函数为 a（1）[u（1）]+a（2）[（2）]+a(3）[（3）]+a（12）[（12）] +α（23）[u（23）]+a（13）[（13）]+α（123）[v（123）] 对偶线性规划问题为 max300[a（12)+a（23)+a（13)+α（123)] 第 s.t. 28章 α(1)+α（12)+α(13）+α（123）=1 α（2)+a(12)+a(23）+α(123）=1 联盟博弈的核 α(3)+α(13)+α(23)+α(123)=1 a(1)≥0;a(2)≥0;·";a(123)≥0 该对偶线性规划的一个最优解为 α（12）=α（13）=α（23）= α（1）=a（2）=α（3）=α（123）=0 在这里，核为空。 现在我们考察分钱博弈（版本3）线性规划的对偶。这个对偶线性规划为 max300[a(12)+α(13)+a（123)] s.t. α（1）+α（12)+α（13）+α（123）=1 α（2）+α（12)+α（23）+α（123）=1 α（3）+a（13)+α（23）+α（123）=1 α(1)≥0;a(2)≥0;·";a(123)≥0 这个对偶规划的最优值显然为300。最优解为α（12)=α(13）=1/2；所有其他α（·）=0。口

口夏普利-邦德伊瓦（Shapley-Bondereva）特征 一般来说，原线性规划问题为 min EN s.t. Zxi≥u(C) C≤N,x;ER,Vi∈N iEC 对偶线性规划为 maxa(C)u(C) CEN s.t. ∑a(C)=1iEN;a(C)≥0C≤N 2(i) 我们在这里使用强对偶定理（strongdualitytheorem）。这个定理指出：如果原规 划（对偶规划）问题有最优解，那么对偶规划（原规划）也有最优解，而且它们的最优 值相同。容易看出，上面的原问题有最优解。因此，根据强对偶定理可知，给定TU博 弈（N，u），存在着配置x*∈R”以及向量α*（C)c=N，使得 博奔论与机制设计 ∑x≥u(C) EC NA0≤（O) NA=(O) 上面的例28.7与例28.8都能说明这一点。我们现在施加下列条件： a（C)=1ViEN→∑a(C)u（C)≤u（N) 2（i} OCN 也就是说，对偶问题的可行性意味着对偶问题的目标函数≤v（N）。我们知道，原函数 的最优值≥u（N)。由于线性规划有解，因此，最优解的值=u（N)。这保证了核非空。 这意味着我们有了核的非空性的必要充分条件。这个必要充分条件称为平衡性（bal- ancedness)。 定义28.6（平衡的TU博弈）给定TU博弈（N，v），如果 ∑a(C)=1i∈N>∑a(C)u(C)≤u（N) OEN 那么我们说这个博弈是平衡的（balanced）。 现在，我们终于可以给出前面刚刚证明的重要定理了。 定理28.1TU博弈（N，）的核为非空的当且仅当这个博弈是平衡的。 上面最优化问题的任何最优解（x”，c2，，x"）称为参与人的平衡的渴望（bal- ancedaspirations)，其中x是参与人i的平衡的渴望。这个称谓是合适的，原因在于

∑x≥u（C)C∈N iEC 参与人的渴望是平衡的，因为（x十x2十十xn）的值已最小。 28.3凸博奔的核 在第27章，我们指出，在给定的TU博弈（N，）中，如果对于每个参与人 证N，随着联盟变大，作为联盟成员的他的边际贡献也更大，那么这个博弈是凸的。 下列关于凸博弈的结果说明了什么样的配置必定属于这个博弈的核。 命题28.1给定凸博弈（N，v），由 x=v（{1}) x2=v（{1,2}）-v（{1}） xn=u（{1,2,·.，n})-v（{1,2，·.，n-1}) 定义的配置x=（x，，）位于这个博弈的核中。也就是说，∈C（N，v）。 证明：容易验证上面定义的配置x=（x，，n）满足x十十x=u（N），因此 X是集体理性的。剩下的任务是证明配置r是联盟理性的。也就是说，我们必须证明 ∑xi≥u(E)ECN 第 EE 章 注意，N={1，2，，n}。假设E是N中的任一联盟。对于某个k≤n，我们可以将E 写为E={i，i，，i>。不失一般性，假设i<i<…<ik。这让我们注意到 联 盟博弈的核 {i,i2,…,ij-1}≤{1,2,.,ij-1}Vi∈{1,2,…,k} 在这里，我们回顾命题27.1：TU博弈（N，v）是凸的当且仅当 u（CU{i})-u（C)≤u（DU{i})-u（D)CCD≤NViEM\D 选择C={i，i2，，ij-1)，D={1，2，，ij一1}以及i=i∈N\D，我们立即得到 u（{ii2,·,i;})-u（{i,i2,….,ij-1}）<o（{1,2,.…,i;})-v（{1,2,·…,i;—1)) 由此，可知 xi=（o（{1,2,…,i})-u（{1,2,,i-1)））≥（u（{i})-u（）) xi=(o（{1,2,…,i2})-u（{1,2,·,i21)）)≥(v（{ii2})-u（{i})) x=（v（{1,2,…,ik})-u({1,2·…,k—1}))≥（u({ii,·,ik})v({ii··,ik—1)) 将上面k个不等式相加，化简，可得 xi+xi+·..+xi≥u（{ii2,..,ik})=u(E) 显然，上式对任何E二N成立，这样，我们就证明了联盟理性。

上面的命题让我们立即得到下述结果，这个结果说明了任何通过集合N的排列得 到的配置也都可行。我们首先定义一些符号。令II（N）表示由N={1，2，"，n）的 所有排列（permutation）组成的集合。假设πEⅡI（N）是任一排列。令P（π，i）表示 在排列π中位于参与人i之前的那些人组成的集合。也就是说， P（π,i)={j∈N：π（j)<π（i)} 定义参与人i对P（π，i）的边际贡献为 m（P，i)=u（P（π，i)U{i}）-v（P（π，i)） 命题28.2假设（N，v）是一个凸博弈，πEII（N）是任一排列。于是，配置y"∈ （m（π，1），m（π，2)，…，m（π，n））位于博弈（N，v）的核中。也就是说，y"∈C（N，u)。 在下一章，我们将利用这个定理证明任何凸博弈的夏普利值都位于该博弈的核中。 28.4成本博奔的核 我们在第27章指出，给定TU博弈，如果联盟的价值是用联盟成员的总最小成本 衡量，那么这样的博弈称为成本博弈。当我们面对的是成本博弈时，核的定义将涉及≤ 而不是≥： C(N,u)={（x,,x）∈R:∑x<u（C)C≤N;∑x;=u（N)} iEC iEN 例28.9（最小生成树成本博弈的核）考虑最小生成树博弈对应的成本博弈： N={1,2,3}； v（1）=5，（2）=1,v（3）=3，v（12）=5，v（13）=8，v（23）=3，v（123）=7 配置（x1，x2，x）∈C（N，v）当且仅当 x<5,x2<1,x<3，x+x2<5,x+x<8,x2+x<7,x+x2+x=7 上面这些式子意味着核C（N，v）为 {（x1,x2，x）:4<x<5；-1<x2<1;2<x<3；x+x2+x=7} 注意，参与人2的核配置甚至可能为负，这意味着参与人2实际上得到了钱。读者可以 试着将这个核与例28.4中最小生成树利润博弈的核进行比较。口 28.5小结与参考文献 这里总结了本章讨论的一些重要概念。 ·给定特征型博弈或称TU博弈（N，v），这个博弈的核由所有满足联盟理性与集 体理性的配置组成。给定核中的配置x=（x1，，x），任何联盟C都无法阻止配置

x，这是因为联盟的价值v（C）小于或等于联盟C的成员在配置r中的收益之和。核的 元素可以解释为合同信号博弈的纳什均衡。 ·TU博弈的核可能为空集，可能为可数集，甚至可能为不可数集。核为空集的博 弈（例如多数同意规则下的投票博弈）意味着参与人之间的议价可能永无休止。TU博 弈的核总是凸且紧的。 ·如果核有大量元素，那么我们很难从中选择合适的元素。此时，合作博弈论的其 他解概念可能变得有用。 ·夏普利（Shapley）与邦德伊瓦（Bondereva）描述了TU博弈何时有非空的核。 他们利用线性规划对偶，各自独立地证明了TU博弈有非空的核当且仅当它是平衡的。 ·我们可以利用适当的线性规划表达式来确定给定的TU博弈是否有非空的核。我 们可用线性规划计算核的元素。 ·为了计算成本博弈的核，我们需要将核表达式中的≥变为≤。 ·凸博弈的核是非空的。 本章的讨论参考了Myerson6]以及Straffin[2]。博弈核议题上的重要结果的基础是 由经典论文GerardDebreuandHerbertScarf7]以及HerbertScarf8]打下的。Bondere- va4]和ShapleyL5]刻画了核的平衡性特征。关于核以及相关重要结果的详细讨论，读者 可参考Peleg and Sudholter[9]以及Maschler，Solan，and Zamir[1]。在下一章，我们将 讨论夏普利值。 第 口参考文献 [1]Michael Maschler,Eilon Solan,and Shmuel Zamir.Game Theory.Cam- bridge UniversityPress,2013. 联 [2]Philip D. Straffin Jr.Game Theory and Strategy.The Mathematical Associa- 博 tion ofAmerica,1993. 弈的 [3]JohnvonNeumann and OskarMorgenstern.Theory ofGamesandEconomic 核 Behavior.PrincetonUniversityPress,1944. [4]O. N.Bondereva.“Some applications of linear programming methods to the theory ofcooperative games".In:(In Russian）(1963). [5]Lloyd S. Shapley.“On balanced sets and the core”.In:Naval Research Lo- gistics Quarterly 14(1967),pp.435-460. [6]Roger B.Myerson.Game Theory:Analysis of Conflict.Harvard University Press,Cambridge,Massachusetts,USA,1997. [7]GerardDebreuandHerbertScarf.“Alimittheoremonthecoreofanecono- my".In:InternationalEconomicReview 4(1963),pp.235-246. [8]Herbert E.Scarf.“The core of an n-person game”.In:Econometrica 35 (1967),pp.50-69. [9]B.PelegandP.Sudholter.Introduction to theTheoryofCooperativeGames. Kluwer Academic,Boston,USA,2003.

28.6习题 （1）常和TU博弈（N，v）是指满足 u（C)+u（MC)=c 的博弈；其中C代表联盟，c表示某个常数。证明任何基本的、常和博弈的核是非空 的。（资料来源：参考文献[2]。） （2）考虑手套市场例子。如果左手套的供应商为1000000个，右手套的供应商也 为1000000个，求这个博弈的核。 （3）考虑房屋配置例子的下列变种。对于房子，参与人1、2和3分别认为它的价 值为1、2和3。参与人2和3每人拥有的现金数为3。构造合适的TU博弈并计算核。 （资料来源：参考文献[2]。） （4）考虑三人超可加博弈，其中（1）=v（2）=v（3）=0，v（12）=a，v（13）=b， u（23）=c，v（123）=d。在这里，0≤a，b，c≤d。计算这个博弈的核。该博弈的核何时 为非空的？（资料来源：参考文献[2]。） （5）通信卫星博弈的定义如下： u（1）=v（2）=v（3）=0， v（12)=5.2，v（13）=2.5，v（23）=3，v（123）=5.2。 求这个博弈的核。（资料来源：参考文献[2]。） （6）给定下列TU博弈（N，v)： N={1,2,3}; v（1）=v（2）=1,v（3）=2，v（12）=v（23）=v（13）=4，v（123）=5。 求这个博弈的核。（资料来源：参考文献[1]。） （7）在第27章讨论的物流博弈中： N={1,2,3,4}; v（1）=v（2）=v（3）=v（4）=0， （12）=v（13）=v（14）=v（23）=v（24）=v（34）=v（234）=v（123）=0， v（134)=40,v（124)=45，v（1234)=65。 求这个博弈的核。 （8）某个博弈有五个参与人，其中参与人1称为大参与人，其余四个称为小参与 人。对于大参与人1与一个或多个小参与人组成的联盟，价值为1；对于四个小参与人 组成的联盟，价值也为1。令 N={1,2,3,4,5}; u(C)=1若1EC且|C|≥2 =1若|C|≥4

=0其他。 求这个博弈的核。（资料来源：参考文献[1]。） （9）考虑分钱博弈的下列变种。现在有4个参与人，总价值为400。假设任何含有 三个或更多个参与人的联盟都能实现上述总价值。另外，含有两个参与人的联盟也能实 现这个总价值仅当参与人1是该联盟的成员。构建这个TU博弈的特征函数并计算核。 （10）考虑分钱博弈的下列变种。现在有4个参与人，总价值为400。任何至少含 有两个参与人的联盟仅当参与人1是该联盟的成员时能够实现这个总价值400。类似 地，任何至少含有三个参与人的联盟仅当参与人2是该联盟的成员时也能够实现这个总 价值400。为此构建特征型博弈并计算核。 （11）证明TU博弈的核是凸且紧的。 （12）某个市场博弈是一个TU博弈，它含有买者集B以及卖者集S，而且 N=BUS，BNS=O，以及 u（C)=min（|CNB|，|CnS|)C≤N 计算这个博弈的核。（资料来源：参考文献[1]。） （13）给定下列TU博弈：N={1，2，3，4}；对于基数（参与人个数）为1或3 的每个联盟，v（C)=0；对于基数为2的每个联盟，v（C)=30；对于基数为4的每个联 盟，v（C)=50。计算这个博弈的核。（资料来源：参考文献[1]。） （14）（编程题）对于给定的TU博弈编程，使得程序提出适当的线性规划并自动报 告这个博弈的核是空的或有限的（非空）或无限的（非空）。而且，在核为有限的（非 第 空）情形下，程序将给出核的元素。 真 联盟博弈的核