两人议价问题 纳什议价（讨价还价）理论归功于约翰·纳什，它是合作博弈论中最早期也是最有 影响的结果之一。给定两个理性且智能的参与人以及一组可行配置，参与人要从中选择 唯一配置。对此，纳什议价理论提出了漂亮的公理化解决方法。本章构建了这个问题， 给出了纳什议价理论的公理，并且提供了纳什议价结果的证明。 两人议价问题 26. 1纳什规划 合作（cooperation）指同一联盟中的两个或多个成员的脑海里有共同的特定目标， 并且联合行动。由于理性与智能是博弈论的两个基本假设，因此参与人之间的任何合作 必须考虑参与人个体收益最大化的目标。正如我们在前面章节看到的，我们可以发展出 合作概念（这个概念与相关策略密切相关），而不用放弃潜在的非合作博弈论架构。 JohnNash[1,2]强调了这一点。在纳什看来，合作行动可以视为参与人议价过程的完成， 因此，参与人之间的合作可用非合作博奔论的核心概念来研究。在这个议价过程中，我 们可以预期每个参与人按照某个议价策略行动，这个议价策略满足标准非合作博弈论中 的效用最大化标准。 纳什天才般的思想在于定义了一个合作转换（cooperativetransformation），它将策 略型博弈转换为另外一个策略型博弈，使得在后面这个博弈中，每个参与人的策略空间 （策略集）都被扩展了。每个参与人的扩展集不仅包含原来博弈的所有策略，也包括一 些额外的策略，这些额外策略描述了他与其他参与人的讨价还价来共同制定合作策略。 这与伴随合同的博弈以及伴随沟通的博弈（参见第25章）的思想是一样的。我们将用 标准版本的囚徒困境问题来说明合作的好处。

NC C NC -2，-2 -10，-1 C -1，-10 -5，-5 显然，参与人的理性意味着博弈的均衡为（C，C），这显然不是参与人联盟的最优 选择。在这种情形下，每个参与人都有动机与对方议价或签署合同来将这个博弈转换为 另外一个博弈，使得后者的均衡对参与人联盟更好。合作博弈论的纳什规划（Nash program）的概念思想在于，设法定义合作解的概念，使得这个合作解是原来非合作博 弈转换成的合作博弈的一个纳什均衡。纳什规划概念是由纳什在他的经典论文[2中提 出的。如果我们细致描述了参与人议价或签署合同时的所有可行可能性，那么我们将得 到一个有很多均衡的博弈。这表明纳什规划未必产生唯一合作解。这意味着最好存在着 某种理论指导我们选择合适的均衡。这正是纳什议价理论所要做的事情，这个理论有公 理化的严谨性，又富有直觉。 26.2两人议价问题 在纳什看来，议价（bargaining）指下列情形： ·两人有达成互利协议的可能性； ·在达成哪个协议的问题上，这两个人存在着利益冲突； ·对于每个人，除非他本人同意，否则不能对他施加任何协议。 上述议价情形隐含着下列假设：当两个人协商或者使用裁判机制时，两人的收益配 置仅取决于： ·协商或仲裁未能达成协议时两人的期望收益；以及 ·协商或仲裁过程中对两人联合可行的收益配置集。 两人议价问题被应用到很多重要环境，包括： ●劳动仲裁：管理方与工会协商劳动合同。 ·国际关系：两国或两组国家协商诸如核武器的裁减、军事合作、反恐策略、关于 双边排放控制的提议等。 ·双头市场博弈：两大竞争企业协商产量来实现它们的利润总和最大。 ·双边贸易：买者和卖者对商品讨价还价。 ·供应链合同：买者和卖者协商互利的合同来促进二者的长期关系。 ·协商规则：多智能体系统中的协商规则。 ·财产权争议的解决：公司或个人间的财产纠纷问题的解决。 口议价问题 两人议价问题是一个二元组（F，v），其中F称为可行集，v称为争议点（disa greementpoint)。 ·可行配置集F是R²的一个闭且凸的子集。

·争议点=（v，v）ER²代表两个参与人未达成协议的情形下的收益配置。争 议点也称为现状点（status-quopoint，或defactopoint）或违约点（defaultpoint）。注 意，总是可行集F的元素。 ●集合Fn{（x1，x2）∈R²：1≥；2≥U2}被假设为非空且有界的。 注意，这里涉及的假设有：F是闭且凸的；集合F∩{（x，x2）∈R²：≥；2≥u} 非空且有界。 口假设背后的合理性 ·F是凸的：我们有下列依据。两人有达成相关策略（相关策略的定义参见上一 章）的激励。因此，如果效用配置x=（x1，x2）与y=（y1，y2）都可行而且0≤≤1， 那么期望效用配置入x十（1一入)y可用下列相关策略实现：对x=（x1，x2）指定概率入， 对y=（y，y2）指定概率（1-入）。 ·F是闭的：这表示F中的任何收敛序列将收敛到F中的点。设想一下，如果我 们有一个属于F的配置序列，但极限配置不属于F，这很奇怪，从而不合理。事实上， 如果没有F是闭的这个假设，议价问题可能没有解，这是因为序列的极限可能不在F 之中。因此，F是闭的，这是一个自然的拓扑要求。 ·集合F∩{（x1，2）∈R²：x≥；x2≥u2}非空且有界。非空意味着存在着某个 可行配置，使得两个参与人的收益不会比争议点差；有界意味着上述可行配置带给两个 参与人的收益不比争议点无限好。这两个假设显然是合理的。 第 口与两人非合作博奔的关系 章 假设T=<{1，2}，S1，S2，u1，u2）是一个两人策略型博弈。如果这两个参与人 两 的策略可用合同约束，那么可行集F的一种可能是相关策略下的所有配置构成的集合： 人 议 F={（u（a)，u2（a)):a∈△（S×S2）} 价 问 其中 题 u;(a)=a(S)u;(s) sES 我们也可以选择个体理性的相关策略下的配置集（回忆一下，个体理性的相关策略下个 体的收益不小于他的最小最大值）。如果参与人的策略不能用合同约束，那么可行集F 的一种可能是相关均衡下的所有配置构成的集合： F={（u（a），u2（α））：α是r的一个相关均衡） 争议点u有几种可能性。第一种可能是令为参与人i的最小最大值。 =minmaxu（o1,02) △（S)(S) U=minmaxu2（o1,02) △（S∈(S) 上面的选择非常合理和科学，这是因为参与人的最小最大值是参与人在其他参与人总是 试图尽可能地伤害他这种最差情形下，能保证自已得到的最小收益。

第二种可能是选择1的某个焦点纳什均衡（o，o2），并且令 U1=u1（o02）；U2=u2（o，0²） 焦点纳什均衡（focalNashequilibrium）是指某个纳什均衡因受外部影响而成为参与人 的自然选择的均衡。 第三种可能是根据理性威胁（rationalthreats）理论求u=（v，U2）。理性威胁理论 使用基于理性的论据进行论证，对于这方面的更多细节，读者可以参考Myerson[3]。 合理议价或仲裁理论必须做到：给定任何议价问题（F，），我们能从R”的可行 集中选择唯一的配置向量，使其成为议价或仲裁的结果。令这个唯一配置为f（F，)。 因此，议价问题涉及找到从两人议价问题集合映到R的合理的解函数f（·）。 26.3纳什公理 约翰·纳什聪明地使用了公理化方法来求这个问题的解。纳什首先提出了合意议价 解函数应该满足的一组性质，然后证明了存在着能满足所有这些性质的唯一解。纳什提 出的五个公理为： （1）强效率； （2）个体理性； 博弈 （3）协变； 论与机 (4）不相关方案的独立性（IIA）； （5）对称性。 制 我们用符号f（F，v)=（f（F，v)，f2（F，v））表示议价问题（F，v）的纳什议价解。 设计 口公理1：强效率 给定可行集F，我们说配置x=（xi，x2）EF是强帕累托有效率的（stronglyParetoef ficient）或（简称）强有效率的，当且仅当不存在其他点y=（y，y）∈F使得y≥x； y≥x2且y>x:对于至少一个参与人i∈{1，2}成立。配置x=（x1，x2）∈F是弱帕累托 有效率的（weaklyParetoefficient）或（简称）弱有效率的当且仅当不存在任何其他点 y=（y，y2）∈F使得y>x1；y2>x2。 强效率公理断言，任何两人议价问题的解应该可行且有强帕累托效率。更正式地， f（F，v)∈F而且不存在任何x=（x1，x2）∈F使得x1≥f（F，)；x2≥f2（F，v）且 c>f（F，）对于至少一个参与人i{1，2）成立。这意味着不存在任何其他可行配 置x=（xi，x2）∈F使得x优于一个参与人的解且不劣于另外一个参与人的解。 口公理2：个体理性 这个公理表明f(F，v)≥u，这意味着f（F，v)≥v1；f2（F，v)≥U2。这个公理的 意思是说，任何一个参与人在议价解中的收益不小于他在争议点中的收益。图26一1说 明了公理1和公理2。

(F,0) (0),0) 图26一1强效率与个体理性 口公理3：协变 协变（scalecovariance）公理的内容如下。对于任意数入i，入2，μi，μ2（其中入i> 0，入2>0），定义集合G={（入x+μ，入2x2+μ2）：（x1，x2）∈F}，并且定义点w= （入u+μ，入2u2+μ2）。于是，问题（G，w）的解f（G，w）为 f(G,w)=(Af(F,u)+μ,A2f2(F,u)+μ2) 上面对集合G与点w的定义意味着，对议价问题（F，v）进行仿射变换即可得到议价 问题（G，w），而我们已经知道仿射变换不会改变效用函数的性质。协变公理意味着， 两人议价问题 对问题（F，v）的解进行上述（相同的）仿射变换，就得到了问题（G，w）的解。图 26—2说明了这个公理。 f(F,0) (0,0) 图26—2协变公理

口公理4：不相关方案的独立性 不相关方案的独立性（independenceofirrelevantalternatives，IIA）表明，对于任 何闭的凸集G， GCF且f（F，v)EG→f（G,u)=f（F，u) 这个公理断言，去掉参与人不会选择的可行方案（但不能去掉争议点），不会影响解。 被去掉的方案称为不相关方案。图26一3描述了这个公理。如果使用裁判机制，让裁判 选择使得社会福利最大的解，即 f(F,u)=maxM(x,) EF 那么，可以证明公理4总能得以满足。在这里，M（x，v）衡量裁判选择x而不是时 产生的社会福利。 fF,) (0,02 图26一3不相关方案的独立性 口公理5：对称性 这个公理断言，如果参与人1和2在议价问题中的地位是完全对称的，那么我们也 应该对称地处理解。更正式地， U=u2且{（x2，x1）:（x1，x2)∈F}=F→f（F，u)=f2（F，) 图26—4描述了这个公理。 26. 4纳什议价解 纳什使用天才般的论证，证明了存在着满足上述全部五个性质的唯一解。下列定理 提供了解。

对称的F 图26-4对称性 定理26.1给定一个两人议价问题（F，v），存在着满足公理（1）到（5）的唯一 解函数f（·，·）。对于每个两人议价问题（F，v），这个解函数满足： f（F，u)∈argmax（（x1—u)（x2—u2)) (x1,x)EF x1≥;x≥U 口一个说明性的例子 图26一5画出了一个闭的凸集F，事实上，它是一个围绕点（4，0）、（1，1）和（0，4) 的凸包。 两人议价问题 (1,3) (2,2) (3,1) 图26一5用例子说明纳什公理

假设F是一个可行集，而且（1，1）是违约点（即争议点）。可以证明，纳什议价 解为（2，2)。这说明了帕累托效率、个体理性以及对称性。我们用入=2=以及 μ1=μ2=1定义一个新的可行空间G。定义点=(+μ，2u十μ2)=(，）。现 (2，2)。如果我们用=2=以及μ=μ=0定义另外一个可行空间H，此时∞= （+μ，+μ2）=(，）。现在问题（H，）（其中w=（，））也说明了 协变性。 26.5纳什议价定理的证明 我们首先用一类特殊的两人议价问题即基本（essential）议价问题作为背景，证明 纳什议价定理，然后我们将其推广到一般两人议价问题。给定两人议价问题（F，）， 如果存在着至少一个配置∈F使得对于这两人来说，严格优于争议点，即y> 且y>v2，那么我们说这个议价问题是基本的。 口基本议价问题的证明 给定一个两人议价问题（F，)。显然，存在着某个y=（，y）∈F使得y>u 且y2>U2。 回顾第10章给出的拟凹函数的定义：给定函数f：S→R（其中S为非空且凸的）， 如果 f(ax+(1-x)y)≥min（f(x),f(y))x,y∈S;x∈[0,1] 那么函数f为拟凹的。 如果 f(ax+(1-)y)>min(f(x),f(y))x,y∈S,x≠y;A∈（0,1) 那么函数f为严格拟凹的。 严格拟凹函数有唯一最优解（最大值），这是我们在微积分课程学过的结论。考虑 最优化问题： max(（x-v）（x2-v）) (x1,x2)EF x1≥U;x2≥U2 其中（，）∈F。函数（一）（2一2）是严格拟凹的（这是因为我们处理的是基 本议价问题），因此它有唯一的最大化点。因此，上面的最大化问题有唯一最优解。将

这个解记为（x，x2）。 令FCR²为凸且闭的。假设=（，）∈F，而且集合F∩{（x，）∈R²:x≥ ；x2≥u）非空且有界。假设函数f（F，v）满足以下五个公理：（1）强效率；（2）个 体理性；（3）协变；（4）不相关方案的独立性；（5）对称性。那么纳什议价定理表明 f（F，v)=（x，x2），而且这正好是上述最优化问题的唯一解。 纳什议价定理的证明分为两个部分。第一部分证明最优化问题的解（x，x2）满 足上述所有五个公理。第二部分证明：如果f（F，v）满足上述所有五个公理，那么 f（F，v）=（x，x2）。在这个证明中，我们将目标函数记为 N（x1，x2）=（x-u)（x2-U) 我们可以将这个目标函数称为纳什乘积（Nashproduct）。 口第一部分的证明 我们需要证明上面最优化问题的最优解（x”，x2）满足所有五个公理。我们依次 证明它们。 ·强效率。 我们必须证明：不存在（，）∈F使得≥x以及≥x而且这两个不等 式至少有一个为严格不等式（即；>x对于至少一个参与人i∈{1，2）成立）。反证 法。假设存在着这样的（1，2）。由于存在着（，）∈F使得y>以及y> U2，因此，在这个最优化问题中，纳什乘积N（1，x2）=（x一）（2一u2）的最大值 第 严格大于零。由于目标函数N（x，x2）关于x与x2都递增，因此我们有 章 N(，2)>N(xx) 两 这是不可能的，因为在这个最优化问题中，N（x”，c2）是N（x1，x2）的最大值。 人 议 ·个体理性。 价问距 这显然满足，因为它是我们最优化问题的约束条件之一。 题 ·协变。 对于入1>0，入2>0，μ1，μ2，定义 G={（入1x+μ，A2x2+μ2):(x1x2)∈F} 考虑问题 max(y1-（au+μ）)（y2（a2u2+μ2）) (y)EG 利用y=x+μ以及y=入2x2+，我们可以将上面的问题写为 max(ax+μ-（+μ1))（a2x2+μ-（+μ2）) ()EG 化简，可知这个问题等价于 max（x1-v）（x2-U2) （x）∈G 它在（x，x2）处实现了最大值。因此，问题

max（y-（au+μ））（y2-（a2u2+μ2）) （y)EG 在（入x+μ，入2x2+μ2）处取得了最大值。 ·不相关方案的独立性（IIA）。 给定GCF，其中G是闭且凸的。令（x”，x2）是问题（F，v）的最优解，令 （y，y）是问题（G，v）的最优解。另外，（x，c）EG已给定。 （1）由于（x”，x2）对于F是最优的，而F是G的真父集（superset），因此我们有 N(x，x）≥N(y²，y2) （2）由于（y，y）对于G是最优的，而且（x，c）∈G，因此我们有 N(y²，y²）≥N(x，x) 因此我们有 N（x²，x)=N（y²，y²) 由于最优解是唯一的，于是我们立即可得 （x，x²）=（yi，y²) ·对称性。 假设我们有{（x2，x）：（x1，c2）∈F}=F而且=v2。由于=v2，我们交替使 博奔论与机制设计 用和u2。因此，我们说（x，）使得（一2）（x2一）最大化。由于最优解是 唯一的，我们应该有（x，c2）=（x2，x），由此立即可得x=x2。 口第二部分的证明 给定f（F，v）是一个满足所有五个公理的议价解。我们必须证明f（F，v）与下列 最优化问题的唯一解（x，x2）相同： max（（x}—v）（x2—u）) (x1x)EF x1;xU 我们有x>V1，x2>U2。考虑下列变换 L（xx2）=（x+μ2x2+μ2） 其中 U2 入= ；入2= x—v ；μ x- ；μ2= x2—U2 换句话说，我们有 L（x1，x2）=（ （xx x²-x—2 注意，L（，v）=（0，0）且L（x，x）=（1，1）。定义

G={L（x,x2):(x1,x2)∈F} 因此，我们将问题（F，（，））转换为问题（G，（O，0））。事实上，由于L（x，c2）= （1，1），因此问题（G，（0，0））在（1，1）处有解。参见图26一6。另外，注意，问题（G， （0，0））的目标函数为（x一0）（x2一0)=xx2。 xx=1 x+x=2 (1,1) 图26一6证明纳什议价定理时用到的集合F、G与H 可以证明 两人议价问题 x+x<2（xx2)∈G 此处可使用反证法，假设x十x2>2，从而得到矛盾。我们将这个问题的证明留作 习题。 G是有界的，因此我们总可以找到一个关于直线x=x2对称的矩形H，使得G≤ H而且H也是凸且有界的。另外，我们选择的这个H要使得点（1，1)EG在H的边 界上。 强效率与对称性一起意味着 f（H,(0,0))=(1,1) 现在使用不相关方案的独立性，可得 f(G,(0,0))=(1,1) 我们知道G是通过重新定标（scaling）得到的。根据协变性可知 f(G,(0,0))=L(f(F,v)) 这意味着 L（f(F,v）)=（1,1)

由于我们知道L（x，c2）=（1，1），我们最终得到了 f（F，u)=（x，x) 口非基本议价问题的证明 对于议价问题（F，v)，如果不存在任何（y1，y2）∈F使得y>以及y>v2， 那么我们说这个议价问题为非基本的（inessential）。由于F是凸的，上面的陈述意味着 至少存在着一个参与人i使得 原因在于如果我们能找到（y1，y2）∈F以及（1，2）∈F使得（y1，y2）≥（zi，2）， 的收益严格优于（，v）。在下面的讨论中，不失一般性，假设 y≥u且y2≥u2y1=（y1,y2）∈F 假设x*是F中的一个配置，使得它在约束条件x=下对参与人2最优（注意， 在x三v这个约束条件下，纳什乘积即目标函数的最大值为零）。这意味着向量（x， x2）是F中的唯一点，使得它有强效率而且相对来说是个体理性的。这意味着，为 了满足公理1和公理2，我们必须有f（F，v)=（x，x）。容易看到，（x，x2）使 得纳什乘积（x一v）（c2一v2）实现了最大值；对于所有个体理性的配置，这个最大值 博 奔论与机制 正好为零。■ 注释对于基本议价问题，我们可用下列弱效率公理替换强效率公理： 公理1′（弱效率）f（F，v)∈F而且不存在任何yEF使得 制 设计 y>f(F,u) 另外，容易看到，基本议价问题不要求个体理性假设。因此，在两人基本议价问题 中，任何同时满足公理1、公理3、公理4和公理5的解，必定与纳什议价解相同。 26.6平等主义解和效用主义解 我们现在讨论议价问题的其他两个著名解，即平等主义解（egalitariansolution） 和效用主义解（utilitariansolution）。在典型议价情形下，个人效用间的比较有两种不 同方法。 ·平等收益原理（principleofequalgains）：如果有人说，你应该为我做此事，因 为我为你做得更多，那么这种解称为平等主义解。 ·最大好处原理（principleof the greatestgood）：如果有人说，你应该为我做此 事，因为它带给我的好处大于坏处，那么这种解称为效用主义解。 对于两人议价问题（F，v），平等主义解是F中的唯一点（x1，2）EF，使得 （x1，x2）有弱效率而且满足平等收益条件：

=2 回忆一下弱效率的定义：给定（x1，x2）∈F，如果不存在任何（y，y2）∈F使得y> x1以及y2>x2，那么我们说（x1，x2）有弱效率。 对于每个两人议价问题（F，v），效用主义解是任何解函数，该解函数选择配置 （x1，x2）∈F使得 x+x2=max（y+y2） (yy)EF 如果参与人的议价或仲裁是根据平等收益原理进行的，那么自然的结果就是平等主义 解。如果这是根据最大好处原理进行的，那么自然结果是一个效用主义解。 可以证明，平等主义解和效用主义解违背了协变公理。 平等主义解 考虑两人议价问题（F，v)。给定数入1，入2，μ，μ2（其中入>0，A>0)，令 L（y)=（a1y+μ1，A2y2+μ2）对于y∈R² 给定问题（F，v)，定义 L(F)={L（y):yEF} 于是，（L（F)，L（v)）的平等主义解是L（x），其中x·是F中的唯一弱效率点，使得 （x1-0）=2（x2) 第 这称为（F，）的一个入平等主义解（X-egalitariansolution）。如果入=（1，1)，这称 真 为简单平等主义解。平等主义解不满足协变性，因为入平等主义解通常不是简单平等主 两 义解。 人议价问题 入效用主义解 问题（L（F)，L（v)）的效用主义解是一个点L（z），其中z=（z1，2）是F中的一 个点，使得 入121+入222=max(A1y1+入2y2) （y1y)EF 点z=（z1，2）称为（F，v）的一个入效用主义解（X-utilitariansolution）。效用主义 解不满足协变性，因为入效用主义解通常不是简单的效用主义解。 口与纳什议价解的关系 注意，平等收益原理建议使用平等主义解，最大好处原理建议使用效用主义解。当 收益用入加权效用尺度衡量时，这些解对应着这些原理的应用。 随着入增加与入降低，入平等主义解提供了一个满足个体理性和弱效率的边界， 这个边界沿着参与人1收益递减的方向移动。另外，随着入增加与入2降低，入效用主 义解提供了一个满足弱效率的边界，这个边界沿着参与人1收益增加的方向移动。 可以证明，对于基本议价问题（F，v），存在着向量入=（A，入）使得入>（0，0）

而且（F，v）的入平等主义解也是（F，v）的入效用主义解。满足这个性质的入和入2 称为自然缩放因子（naturalscalefactors）。 显然，给定F中的配置，如果用自然缩放因子衡量，它既是入平等主义的又是入效 用主义的，那么它是纳什议价解。因此，纳什议价解可以视为平等收益原理和最大好处 原理的一个自然合成。下列命题说明了这个事实。 命题26.1令（F，v）是一个基本两人议价问题。假设x是一个配置向量，使得 c*∈F以及x*≥U。那么x*是（F，v）的纳什议价解当且仅当存在着严格正数入>0 与入>0，使得 入x—入入2x—入22 入1x+2x²=max（aiy1+2y2) yEF 对于这个结果的证明，读者可以参考Myerson[3]。 26.7小结与参考文献 我们将本章的主要结果简要总结如下。 ·两人议价问题（F，（v1，v2））可以表达为：给定由可能收益配置组成的集合F 而且假设F是闭且凸的，并且给定争议点（v，v）（即争议配置，这是两人未达成协 博 弈论 议时执行的配置），找到两人的最优收益配置。我们还假设收益是有界的，也就是说， 任何其他可行配置带给两个参与人的收益不比争议点无限好。 与机 ·对于上述议价问题，纳什用公理化方法给出了解，这种方法要求任何解都满足以 制 下五个公理：（1）帕累托效率；（2）个体理性；（3）协变；（4）不相关方案的独立性； 设计 （5）对称性。纳什证明正好存在满足上述五个公理的唯一解，而且它是下列简单约束最 优化问题的唯一解： max(（x1-v)（x2-v）) (x1,x2)EF x1xU2 ·两人议价问题还存在其他求解方法。本章讨论了两种其他方法：（a）平等主义方 法；（b）效用主义方法。如果适当选择缩放因子入，可知这两种方法产生的解与纳什议 价解相同。 纳什议价问题及其解的原始讨论可以参见纳什的经典论文。1]本章的讨论以及给出 的方法参考了Myerson3]。以下两本书深人讨论了议价问题：Muthoo[4]的主题几乎全 部是议价问题；OsborneandRubinstein[5]深人讨论了议价问题，并且考察了它在市场 情形下的应用。对于纳什议价问题的更多材料，读者可以参考Maschler，Solan，and ZamirL6]。另外，Straffin[7]提供了两个关于两人议价问题的现实应用：（1）管理者与 工会之间的协商；（2）双头模型：两个竞争企业试图使得它们的收入最大。纳什规划概 念及其讨论来自Nash[2]。

纳什议价解并未推广到三人或多人情形。我们将在下一章说明这个事实，并且开始 研究合作博弈论中的其他解概念。 口参考文献 [1]John F.Nash Jr.“The bargaining problem".In:Econometrica 18 (1950), pp.155-162. [2]John F.Nash Jr.“Two person cooperative games".In:Econometrica 21 (1953)，pp.128-140. [3]RogerB.Myerson.Game Theory:Analysis of Conflict.Harvard University Press,Cambridge,Massachusetts,USA,1997. [4]AbhinayMuthoo.BargainingTheory with Applications.Cambridge Univer- sity Press, 1999. [5]Martin J. Osborne and Ariel Rubinstein.Bargaining and Markets.Academic Press,1990. [6]Michael Maschler,Eilon Solan,and Shmuel Zamir.Game Theory.Cam- bridgeUniversityPress,2013. [7]Philip D.Straffin Jr.Game TheoryandStrategy.TheMathematical Associa tion of America,1993. 第 26.8习题 章 两 （1）根据不相关方案的独立性公理，证明下列性质：给定纳什议价问题（F，v)， 人议价问题 如果裁判打算选择使得社会福利最大的解，即选择 f（F,)=maxM（x,) rEF 那么公理4总成立。在这里，M（x，v）是参与人选择x而不是时产生的社会福利。 （2）假设F是一个包含点A=（1，8)、B=（6，7)、C=（8，6)、D=（9，5）、E= 状点）为（2，1）。计算这个情形下的纳什议价解。画图会有所帮助。 （3）在上面的问题中，当你分别将A、B、C、D、E、F、G作为争议点时，纳什 议价解将有什么变化？ （4）（举例说明）给出一个两人议价问题，使得无论我们如何选择争议点，纳什议 价解都不会变化。 （5）在纳什议价定理的证明过程（第二部分的证明）中，证明下列结果： x+x2<2（x1,x2)∈G 提示：反证法。假设x十x2>2。 （6）考虑下列两人博弈：

A B A 5，5 2，2 B 2，2 3，3 ·分别计算以下情形下的所有收益组构成的集合：（a）在相关策略下；（b）在个体 理性的相关策略下。 ●将最小最大值视为争议点，在上述两种情形下，纳什议价解分别是什么？