在事后纳什均衡中实施 社会选择函数 到目前为止，我们已研究了在优势策略均衡或贝叶斯纳什均衡中实施社会选择函数 的情形。本章讨论在事后纳什均衡（ex-postNashequilibrum）中实施社会选择函数问 题，这适用于完全信息环境（completeinformationsetting）。我们将建立事后纳什实施 与单调性这个重要概念之间的关系，后者是由埃里克·马斯金（2007年诺贝尔经济学 奖获得者）发展出的。 23.1社会选择函数的实施：多个均衡的情形 在定义机制M=（S1，，S；g（·））实施社会选择函数f：→X时，我们谨慎地 指出，对于每个0E0，存在着M诱导出的博弈的一个均衡，这个均衡产生了社会选择 函数结果f(0）。我们没有解决下列问题：对于给定的0EO，如果诱导博弈有多个均衡， 我们应该怎么办？注意，在其他均衡中，结果可能不是f（0）。因此，如果存在两个或 多个均衡，我们隐含地假设参与人将选择社会计划者想要的均衡。我们用例子说明。 例23.1（多个均衡问题）这个例子源自Mas-Colell，Whinston，andGreen[1]。 某个公共项目问题中有两个参与人N={1，2）（参见14.4节）。社会计划者必须决定是 否上马这个项目。配置k=0表示不上马，k=1表示上马。假设每个参与人的类型集为 =02={0L，0H} 其中类型表示智能体对项目的评价。在这里，0：和6分别表示高评价和低评价。假设 0H>0>0L而且0H十0L>0。根据标准惯例，智能体的类型在统计上是独立的，假设 P（0=0L）=P（02=0L）=入E（0,1)

下列项目选择函数有配置效率： k*（0，02）=0若0=02=0L =1其他情形 对于这个问题，我们可以使用dAGVA机制（参见第19章），对于每个类型组（6，0）∈ ×2，两人如实报告的类型构成了（机制诱导出的）博弈的一个贝叶斯纳什均衡。回忆 一下，转移给智能体i的钱数为 t;(0，0-)=Ed[θ-k*（0，0;)]+h;(0-i) 然而，对于这个问题，两人如实报告类型不是唯一的贝叶斯纳什均衡。特别地，我们在 下面说明两人都报告0：也构成了一个贝叶斯纳什均衡。 假设智能体2总是报告0H。于是，不管智能体1报告什么类型（0或0H），项目选 择都将为k=1，即项目上马。对于智能体1来说，如果他的类型为0L，那么他的直接 收益为0；如果他的类型为0H，那么他的直接收益为0H。因此，智能体1的最优反应 策略就是报告能使他得到的期望转移（即转移给他的钱数）最大的类型。如果智能体1 报告0L，则他的期望转移为（1一入）0H十h（0n）；如果智能体1报告0H，则他的期望转 移为入0L十（1一x）0H十h（0H）。因此，如果智能体2报告0H，那么智能体1偏好报告 0H，不管他（智能体1）的真实类型是什么。类似地，当智能体1报告0：时，智能体2 的最优反应策略也是报告0H。因此，（0H，0n）构成了另外一个贝叶斯纳什均衡。口 口强实施 第 上面的例子表明，想实施社会选择函数的社会计划者，必须保证（机制诱导出的） 章 博奔实现的均衡正是他想要的。这并不是一个简单问题。然而，有个叫做强实施 在事后 （strongimplementation）的概念能保证社会选择函数被诱导博弈的所有均衡所实施。在 这种情形下，机制必定能实施合意的社会选择函数，社会计划者对此有充分把握。我们 纳 什均衡 现在给出强实施的定义。 定义23.1（强实施）给定机制u=（S，，Sn；g（·））以及社会选择函数 中实 f：×…·×→X，如果μ诱导出的博弈的每个均衡策略组（s（·），，S（·）） 都能使得 施 社 g（s²（01）,·.，s（0n))=f（01，·,0n）（01，….,0n)∈ 会选 那么我们说社会选择函数f被《强实施。 择 如果社会选择函数是在强优势策略中实施，那么强实施自动得以实现。如果是在弱 函 数 优势策略均衡中实施，那么强实施比较困难。在贝叶斯纳什均衡中实现强实施，无疑是 最困难的。 23.2在纳什均衡中实施社会选择函数 假设每个智能体，除了能观察到自己的类型之外，也能观察到其他职能体的类型。

这样的情形事实上已变成了完全信息环境。尽管智能体能观察到整个类型组0，但社会 计划者可能不知道该类型组。因此，为了实施社会选择函数，社会计划者必须提出一种 机制使得：该机制在智能体之间引人博弈，博弈产生了纳什均衡s*（0），这个均衡产生 了对应于类型组θ的结果f（0)。Maskin[2,3]在这个议题上做出了开创性的基础工作， 我们将用例子[4]进行讨论。 例23.2（在纳什均衡中实施社会选择函数）假设N={1，2}，X={x，y，z，w）。 参与人的状态有两个：0A和0B。状态集（类似于由类型组构成的集合）为、 ={0A，0B} 注意，我们没有分别提及每个智能体的类型，这是因为我们研究的是完全信息情形，此 时每个智能体能观察到整个类型组。在0A和0：这两个状态下，假设智能体对结果集 X={x，y，，w}中的元素有下列偏好。在状态θ=0A下，智能体1和2的偏好分 别为 智能体1:x>y>z>w； 智能体2：w>y>z>。 在状态0=0B下，他们的偏好分别为 智能体1:w>x>z>y； 智能体2:y>x>z>w。 博 奔 注意，在这里，我们使用结果上的偏好序，而不是实际效用值。当然，使用效用值也是 论 完全可行的。 与机 上面的例子改编自马斯金领取诺贝尔奖时的演讲。4两个参与人代表着两个消费能 制 源的消费者。社会计划者是能源当局。结果，y，2，w分别指四种能源来源，即气、 设 计 油、煤与核。参与人1侧重消费的方便性，参与人2侧重消费的安全性。状态0表示 能源消费者不过多关心未来需求和未来可能性，而0B则代表相反情形，即消费者仔细 权衡未来的选择和可能性。在这两个状态下，两个消费者对于上述四种能源有自已的偏 好。能源当局的目标是把两个消费者的偏好加总，并且实施合意且让消费者接受的社会 选择函数。假设能源当局希望实施下列社会选择函数 f(θA）=y;f（θB）=x 我们可以立即看出上面的社会选择函数有事后效率。而且，它的结果要么是两个消费者 的第一偏好备选项，要么是第二偏好备选项。口 例23.3（社会选择函数的可实施性：直接机制）我们现在考察上面的社会选择函 数能否被直接机制实施。社会计划者可以要求参与人报告他们的状态，并且 ·如果两人都报告0A，那么社会计划者选择y； ·如果两人都报告0B，那么社会计划者选择x； ·如果两人报告的状态不同，那么社会计划者以0.5的概率选择y，以0.5的概率 选择α。 注意，智能体1的最优反应是报告0B，无论智能体2如何报告，也无论他的状态是

怎样的。这是因为在这两种状态下，智能体1都偏好x胜于y。显然，通过报告0B，智 能体1能增加实现他（智能体1）偏好结果的概率： ·若智能体2报告0A，从0.5增加到1； ·若智能体2报告0B，从0增加到0.5。 类似地，智能体2的最优反应是报告0A，无论智能体1如何报告，也无论他的状态 是怎样的。这是因为智能体2偏好胜于x。因此，智能体1和2的理性行为意味着， 在每个状态下，结果是以等概率将与y随机化。因此，在这种情形下，结果为f（θ) 的概率只有0.5。口 例23.4（社会选择函数的可实施性：间接机制）我们现在考察间接机制实施社会 选择函数的可能性。假设S={U，D)，S2={L，R>，而且结果规则g（·）的定义为 下列矩阵： L R n y D 我们首先分析状态为0=0A的情形。智能体2必须在L和R之间做出选择，容易看 出L是智能体2的优势策略。这是因为当智能体2选择L时， ·如果智能体1选择U，那么结果为y（注意，在θ=0A的情形下，智能体2偏好y 胜于，参见例23.2中的偏好序；下同）； 第 ·如果智能体1选择D，那么结果为w（注意，在0=0A的情形下，智能体2偏好 章 w胜于x）。 在事后 当智能体2选择他的优势策略L时，智能体1的最优反应是选择U，这是因为当 0=0A时，对于智能体1来说，结果y比w好。因此，当θ=0A时，（U，L）为最优反 纳什均 应策略组，事实上，这是唯一纳什均衡。更重要的是，这个纳什均衡实现的结果为y； 由于f（0A）=y，我们可以在状态0A下实施社会选择函数的结果。 衡 在0=0B的情形下分析类似，可以证明在这种情形下，（D，R）是唯一纳什均衡， 中实施 它产生的结果r正好是f（0B）。因此，在这两种状态下，尽管社会计划者不知道具体状 态，但社会选择函数仍能得以实施。而且，这两个智能体只关注自已的偏好，而不关心 社 会选 社会选择函数是怎样的。我们说，间接机制在纳什均衡中实施了社会选择函数。需要记 住，这是一个完全信息环境，在这个环境中，所有智能体都知道整个类型组或完全的状 择 态信息。口 函数 口与单调性的关系 Maskin[2,3]考察了在什么条件下，社会选择函数可在纳什均衡中实施。对此，马 斯金提出了单调性概念，这通常称为马斯金单调性（Maskinmonotonicity）。他证明了 单调性是上述问题的一个必要条件，他还证明了单调性与另外一个性质即无否决权（no vetopower）一起构成了这个问题的充分条件。我们已在第17章正式给出了单调性的 定义。现在我们将这个概念运用到当前讨论的例子中。我们首先将单调性以下列符合直

觉的形式表达。[4]假设f（0)=x，其中θ是某个状态（或类型组），是某个结果。考虑 另外一个状态6。在状态0和0下，智能体在结果上有自己的偏好。如果当状态从0变 为0，结果在任何智能体的偏好序中的相对位置（相对于任何其他结果来说）都不下 降，那么单调性要求0产生的结果与0的结果相同，也就是f（6）=x。如果当状态从θ 那么单调性对结果f（θ）不施加任何限制。 例23.5（单调性的应用）回顾我们当前讨论例子中的偏好。在状态0=0A下，两 个智能体的偏好分别为 智能体1:x>y>z>w； 智能体2:w>y>z>x。 在状态0=0B下，他们的偏好分别为 智能体1:w>x>z>y; 智能体2:y>x>z>w。 社会选择函数为：f（0A）=y，f(0B）=x。当状态从0A变为0B时，在智能体1的偏好序 中，结果y相对于和的位置下降了。因此，f（0B）≠y没有违背单调性。类似地， 当状态从0变为0A时，在智能体2的偏好序中，结果相对于和w的位置下降了。 因此，f（0A）≠x没有违背单调性。 现在假设智能体在状态0=0A下的偏好不变，但在状态0=0B下的偏好变为 博 弈论上 智能体1:x>y>z>w； 与机 智能体2:y>x>z>w。 制 令社会选择函数为：f（0A）=y，f（0B）=W。当状态从0A变为0B时，注意，在这两个智 设 能体的偏好序中，结果f（0A）=y的相对位置没有下降。因此，为了使单调性成立， 计 f（0B）必须与f（0A）相同；这显然不成立，因为f（0B）=w≠y=f（0A）。因此，这违背 了单调性或说单调性不成立。根据马斯金结果，这个社会选择函数不能在纳什均衡中实 施。我们将这个结果的验证留作习题。口 23.3社会选择函数的可实施性：完全信息环境 正如我们在前面那些例子中看到的，在完全信息环境下，每个智能体完全知道整个 类型组（或状态）。然而，社会计划者不能观察到这些状态；为了实施社会选择函数， 社会计划者让智能体参与博弈从而希望博弈均衡将产生社会选择函数的合意结果。完全 信息环境是我们在所有以前章节研究的一般机制设计环境的一种特殊情形。它特殊在所 有智能体都能收到关于其他智能体类型的信号，这些类型完全相关。我们的目的是使用 纳什均衡概念来定义这种环境下的可实施性和激励相容性。 定义23.2给定机制=（S1，，S；g（·））以及社会选择函数f：××→ X，如果Vθ∈，存在着纳什均衡s*（θ）=（s*（θ)，"，s（θ)）使得g（s*（0)）=f（θ)，

那么我们说μ在纳什均衡中实施了社会选择函数f（·）。如果V0EO，每个纳什均衡产 生了结果f（0)，那么我们说《在纳什均衡中强实施了社会选择函数f（·）。 文献也经常将其称为在事后纳什均衡中实施（implementationinex-postNashequi- librium）。我们做出的第一个观察是，如果社会选择函数是优势策略可实施的，那么它 必定可在纳什均衡中实施，这是因为优势策略均衡也是纳什均衡。另外，信息由不完全 变为完全，这不会对优势策略实施造成任何影响，因为智能体关于其他智能体类型的信 念不会影响智能体的优势策略。我们做出的第二个观察是，社会选择函数若可在纳什均 衡中实施，那么它也可在贝叶斯纳什均衡中实施，因为纳什均衡是（退化的）贝叶斯纳 什均衡。 定义23.3（事后纳什激励相容）给定社会选择函数f：O→X，如果由直接显示机 制9=（O，f（·））诱导出的完全信息博弈，有满足s（0)=θ，VθEO，ViEN的纳什 均衡s*（·）=（s（·），"，s（·）），那么我们说社会选择函数f（·）是事后纳什激 励相容的（ex-postNashincentivecompatible，EPIC）。如果VθE，每个纳什均衡产 生了结果f（θ，那么我们说f（·）是强事后纳什激励相容的。 注释显然，事后纳什激励相容（EPIC）比贝叶斯激励相容（BIC）强，但比优势 策略激励相容（DSIC）弱得多。给定社会选择函数，如果对于所有参与人N以及对 于所有类型组（0，0-：）∈⊙，每当所有其他参与人报告他们的真实类型时，参与人i的 最优反应也是报告真实类型，那么这个社会选择函数是事后纳什激励相容的（EPIC）。 在贝叶斯激励相容（BIC）情形下，对于每个参与人iEN以及每个0：EO，报告真实类 第 型在期望上是最优的，在这里，期望是指对信念分布p：（0）E△（O-）取期望。 事实上，如果n≥3，那么任何社会选择函数f（·）都可在纳什均衡中实施，下面 章 的讨论说明了这一点。假设在某个机制中，每个智能体i（i=1，，n）同时报告一个 在 类型组（或状态）0∈O。如果至少（n一1）个智能体报告了相同的类型组，不妨称为 事后 0*，那么我们选择结果f（9*），否则，我们选择一个固定的任意结果xoEX。假设当前 纳 的状态为0，考虑报告类型组（0，0，，0）。这个类型组是一个纳什均衡，这是因为 什 均 当任何一个智能体单方面偏离这个类型组时，我们仍能保证结果为f(0）。 衡 中实 口单调性：社会选择函数在纳什均衡中的可实施性的必要条件 施 尽管从技术上说，每个社会选择函数都可按照上面的方法实施，然而这种实施多少 社 会选 有些勉强。如果实施是一个强实施，那么这个情形就被避开了。这自然提出了一个问 题：在完全信息情形下，什么社会选择函数可在纳什均衡中强实施。这个问题的部分答 择 困 案由下列强大命题（归功于MaskinL2]）给出，这个命题表明单调性是一个必要条件。 数 命题23.1如果社会选择函数f（·）可在纳什均衡中强实施，那么f（·）必定 单调。 证明：我们首先回顾下轮廓集（lowercontourset）与单调性的定义。给定结果 xEX、智能体i∈N以及智能体i的类型θ∈O，下轮廓集L（x，0）的定义为 L;（x,0;)={y∈X:u;（x,0;)≥u;(y,0;)} 给定社会选择函数f：O→X，如果V0EO，V∈（0≠0)，我们有

L:(f(0),0;)CL;(f(θ),θ)iENf(θ)=f(θ) 那么我们说f（·）是单调的。 假设机制μ=（S，"，S；g（·））强实施了社会选择函数f（·）。这表示当类型组 为0时，每个纳什均衡产生了结果f（0)。也就是说，必定存在着一个策略组s*（·）= （s（·），，s（·））使得 g（s*（0))=f(θ）而且g（si，s;)∈L;（f（0)，0;）Vs∈S:Vi∈N 现在用反证法。假设f（·）不是单调的。于是，存在着0∈⊙使得 L(f（0),0)CL;(f(θ)，θ）ViEN但f(θ）≠f(0) 然而，s*（·）也是0下的纳什均衡，这是因为 g(s,s;)EL(f(0),0)sESEN 因此M未强实施f（·），这与我们前面的假设（f（·）不单调）矛盾。这样，我们就 完成了这个命题的证明。■ 口社会选择函数在纳什均衡中的可实施性的充分条件 权（马斯金说这是一个无害的性质）一起构成了社会选择函数在纳什均衡中的可实施性 博奔论与机制 的充分条件。详见下列定义和命题。 定义23.4（无否决权）给定社会选择函数f（·），如果对于所有0E0，若所有智 能体将0对应的某个特定结果xEX排在第一位（可能有一个智能体例外），则f（0）= x，那么我们说社会选择函数f（·）满足无否决权性质。 设计 注意，在上面的定义中，“可能有一个智能体例外”是指这个智能体不将x排在第 一位。换句话说，给定n个智能体，这个定义要求至少有（n一1）个智能体将x排在第 一位。 命题23.2如果n≥3，f（·）是单调的，而且f（·）满足无否决权性质，那么 f（·）可在纳什均衡中强实施。 23.4小结与参考文献 本章简要介绍了在完全信息环境下实施社会选择函数的议题，这是Maskin[4]的开 创性工作。我们的讨论围绕着社会选择函数在事后纳什均衡中的实施展开，这自动意味 着我们的环境是完全信息环境。与本章形成对比的是，以前各章涉及的环境是不完全信 息环境。 本章给出的主要结果表明，单调性是社会选择函数在事后纳什均衡中的可实施性的 必要条件。另外，单调性与无否决权性质一起为社会选择函数在事后纳什均衡中的可实 施性提供了充分条件。

本章的多数内容基于Mas-Colell，Whinston，andGreen[1]一书的第23章，以及马 斯金在领取诺贝尔奖时的演讲（Maskin[4]）。 口参考文献 [1]Andreu Mas-Colell,Michael D.Whinston,and JerryR.Green.Microeconomic Theory.OxfordUniversityPress,1995. [2]EricMaskin.“Nash equilibrium and welfare optimality”.In:ReviewofEco- nomic Studies 66 (1999),pp.23-38. [3]Eric Maskin.“The theory of implementation in Nash equilibrium:A survey”. In:Social GoalsandSocial Organization:EssaysinHonorofElishsPazner.Ed.by L.Hurwicz,D.Schmeidler,and H.Sonnenschein.Cambridge University Press,Cam bridge,UK，1985. [4]Eric Maskin.Mechanism design:How to implement social goals.Tech. rep.Prize Lecture,TheNobel Foundation,Stockholm,Sweden,December 2007. 在事后纳什均衡中实施社会选择函数