拟线性环境中的机制 设计空间 我们已经看到机制设计涉及制度或规则的设计，以使得私人信息和自利导致的经济 损失最小。在设计伴随诸如激励相容、配置效率和预算平衡等合意性质的机制时，我们 面对着非常复杂的权衡；大量文献考察了各种可能结果和不可能结果。本章研究一些这 第19亲 样的权衡。本章介绍了一种重要的机制，即所谓的dAGVA机制，这种机制通过将优势 章 策略激励相容放松为贝叶斯激励相容而实现了配置效率和预算平衡。本章还介绍了另外 拟线性环境中的机制设计空间 一个重要性质，即，个体理性（individualrationality），也称为自愿参与（voluntary participation）；然后，我们研究这个性质引起的权衡。在讨论中，我们假设智能体的偏 好为拟线性的。最后，我们讨论了一种特殊的拟线性环境，即线性环境（linearenvi- ronment）。在线性环境下，我们给出了迈尔森对贝叶斯社会选择函数的刻画。 19.1格罗夫斯机制与严格预算平衡 在第18章，我们隐含地假设那里讨论的所有机制都满足弱预算平衡性质。然而， 一般来说，这不成立。注意到，格罗夫斯机制（我们在上一章详细讨论了这种机制）总 是满足配置效率和优势策略激励相容。因此，如果格罗夫斯机制是严格预算平衡的，那 么它将解决社会计划者的问题，这是因为它有事后效率而且是优势策略激励相容的。通 过考察格罗夫斯机制的定义，可以发现函数h；（·）（其中i=1，"，n）决定了格罗夫 斯机制是否预算平衡。这里自然产生了一个问题：是否存在着函数h：（·）（其中 i=1，"，n）使得格罗夫斯机制是预算平衡的？下面，我们首先给出格林-拉丰定理， 它说明在一般环境下，格罗夫斯机制不可能是严格预算平衡的。接下来，我们证明存在 着一种与现实相关的特殊环境使得格罗夫斯机制是严格预算平衡的。

口预算平衡的可能结果和不可能结果 格林和拉丰（GreenandLaffont1]）证明在拟线性环境下，如果每个智能体的可能 类型集充分丰富，那么事后效率与优势策略激励相容不能共存。这个结果的正式阐述参 见下列定理。记住，符号表示从项目选择集K映到R的所有函数组成的集合。 定理19.1（格林-拉丰不可能定理）假设对于每个智能体i∈N，都有9={v（·，0）： 0∈），也就是说，每个从K映到R的评价函数都对应着某个0∈O。于是，不存在同 时满足事后效率和优势策略激励相容的社会选择函数。 因此，上面的定理表明如果每个智能体的可能类型集充分丰富，那么我们不可能找 到定义格罗夫斯支付规则中的函数h：（·）的方法，使得 t（θ）=0。然而，在特殊 i=] 情形，这样的结果是可能的。这就是下面的定理。 定理19.2（格罗夫斯机制的预算平衡）如果存在着至少一个智能体使得他的偏好 已知（也就是说，他的类型集是一个单点集)，那么存在着找到满足t(）=0的函 i=1 数h（·）的可能。 证明：令智能体i的偏好已知，即={0：}。根据这个条件，可知对于任何一个有 配置效率的社会选择函数f（·）=（k*（·），t（·），"，t（·）），配置k*（·）仅取 决于其他智能体的类型O-i。也就是说，配置k*（·）是一个从-映到K的映射。我 们将函数h;（·）定义为： (h;（0-j）:j≠i =（0)y ∑h,(0)-(n-1)∑u(k*(0),0):j=i r≠i =1 容易看到，在上面的定义下，我们有t（θ）=一>t（0)，因此实现了严格预算平衡。 j#i 19.2克拉克机制与弱预算平衡 根据格罗夫斯机制的定义可知，对于弱预算平衡，我们应该选择函数h（0-）（其 中i=1，…，n）使得弱预算平衡条件t（）≤0得以满足。在这个意义上，克拉克 机制是一种有用的特殊情形，因为它在比较一般的环境下实现了弱预算平衡。为了理解 这些一般充分条件，我们定义两个量： B*(0)={k∈K:k∈argmaxu;(k,0;)} EK B*(0-i)={k∈Ki:k∈argmaxu;(k,0;)} eKij≠i

在上述两式中，B*（0）是当所有智能体都出现时的有配置效率的项目选择集；类似地， 使用上面的两个量，我们定义拟线性环境下的直接显示机制的下列性质。 定义19.1（无单个智能体效应）给定机制M，如果对于每个智能体i，对于每个 θEO，以及对于每个k*（θ)∈B*（O)，我们都有一个kEK-i，使得 ∑u;(k,0;)≥∑u;(k*(0),0;) j#i ji 那么，我们说机制u无单个智能体效应（nosingleagenteffect）。 上面的性质是说，不存在任何一个智能体i，使得当智能体i出现时所有其他智能 体在某个有效率配置下的价值之和严格大于当智能体i不出现时所有其他智能体在该有 效率配置下的价值之和。如果存在这样的智能体i，那么他的出现将给其他智能体造成 严重的外部性。 克拉克机制何时是弱预算平衡的？下列命题给出了这个问题的充分条件。 命题19.1如果克拉克机制没有单个智能体效应，那么转移给每个智能体的钱数 将是非正的，即t（0)≤0，Vθ∈O；Vi=1，"，n。在这种情形下，克拉克机制满足弱 预算平衡性质。 证明：由于不存在单个智能体效应，因此，对于每个智能体i、每个0E以及每个 k*（θ)EB*（θ)，存在着k∈K-i，使得 u;(k，0;)≥∑u;(k*(0）,0;) 第 ji 然而，根据k：（0-）的定义式（18.4），我们有 章 u;(k(0-),0;)≥∑u;(k,0;)k∈Ki 拟 线性 j≠i 结合以上两个事实，我们有 环 境中的

u;(k*(0),0;)-u;(k=(0-i),0;)＜0i∈N j注i 机 也就是说，t（0)≤0，Vi∈N。这立即意味着 制 设计 ∑t;(0)≤0 空间 =1 这说明如果不存在单个智能体效应，那么克拉克机制是弱预算平衡的。■ 口再分配机制 再分配机制（redistributionmechanism）是弱预算平衡的格罗夫斯机制，而且它们 试图在保留配置效率和优势策略激励相容性的前提下尽可能使得预算不平衡最小。这里 的思想是以明显包含有效率配置的克拉克机制作为起点，并且使用克拉克支付规则来确 定智能体的货币转移。然后，将这些货币转移再分配给智能体，使得预算不平衡减小而 且又不牺牲配置效率或优势策略激励相容性。这是一类重要机制，称为再分配机制。这 些机制的例子可以参见文献[2，3，4，5]。

19.3个体理性 个体理性也称为自愿参与性质。社会选择函数的个体理性，在本质上意味着每个智 能体得到的效用，不小于他不参与实施社会选择函数的机制而得到的效用。个体理性约 束（也称为参与约束）可能涉及机制设计的三个阶段。假设u：（0）是智能体i的类型为 0：时，他因退出机制而得到的效用。 口事后个体理性 当任何智能体i有机会在事后阶段（ex-poststage）退出时，自愿参与约束变得重 要。这里的事后阶段是指所有智能体已报告他们的类型而且结果X被选定之后。于是， 为了保证智能体i参与，我们必须满足下列事后参与约束（ex-postparticipationcon- straints）（或称事后个体理性约束（ex-postindividualrationalityconstraints））： ui（f（0，0-i),0;）≥u;(0;)（0:0-;)∈0 口事中个体理性 令智能体i有机会在事中阶段（interimstage）退出；事中阶段是指智能体已经知道他 博 们的类型，但还未选择策略。在这样的情形下，仅当智能体i在他的类型为0时，他从社 奔论与机 会选择函数f（·）得到的事中期望效用E[u（f（0，0-），0）0］不小于u（0），他才 会继续参与机制。因此，智能体i的事中参与约束（interimparticipationconstraints）（或称 事中个体理性约束（interimindividualrationalityconstraints））要求 制 设 E_;[ui（f（0，0-i),0:)0.]≥u;（0:）0;∈0 计 口事前个体理性 令智能体i有机会在事前阶段（ex-antestage）退出机制；事前阶段指智能体知道 他们的类型之前。在这种情形下，智能体i将自愿参与机制仅当他从社会选择函数 f（·）得到的事前期望效用E[u（f（0，0-：），0）]不小于E[u（0:）]。注意，E表 示智能体i的期望不仅取决于所有其他智能体的类型，也取决于他自己的类型。因此， （ex-anteindividualrationalityconstraints)）要求 E[u;（f（0:,0-i),0;)]≥Ee[u;(0:)] 下列命题给出了上述三种不同参与约束之间的关系。这个命题的证明比较直观，我 们留作习题。 命题19.2对于任何社会选择函数f（·），我们有 性的。

19.4VCG机制与个体理性 我们用例子说明个体理性性质的重要性。 例19.1（公共项目问题）在某个公共项目问题中， N={1,2};K={0,1}；O=2={20,60} 假设项目的成本为50，因此，可行结果组成的集合为： X={（k,t1,t2):k∈{0,1};t1,t2∈R；-(t+t2)<50} 考虑下列配置函数： k*（0，02）=0若0=02=20 =1其他情形 将评价函数定义为： v（k*（0,02），0:)=k*（0，02）（0:-25)0∈O1；02∈2 我们在第18章已经看到，上面的配置函数有配置效率。因此，我们可以使用格罗夫斯 支付规则，并且使得下列社会选择函数为优势策略激励相容的： f（θ）=（k*（0）,t（0)，t2（0）) 第 其中t（0）和t2（0）满足格罗夫斯支付规则。假设上面的机制是事后个人理性的，其中 u;（0）=0，V0∈；i=1，2。这意味着 章 ui（f（0,02),0)≥00∈O1；02∈2 拟 线性 特别地，我们有u（f（20，60），20)≥0，这等价于： 环 u（k*（20,60),20)+t（20,60)≥0 境中的 由于u（k*（20，60），20）=一5，我们有一t（20，60）≤一5。现在考虑t（60，60）。由 于社会选择函数是优势策略激励相容的，我们有 机 制 u（f(60,60),60)≥u(f(20,60),60) 设计 这意味着 空间 （0907)+（09（0907）)<（0909)+（09（0909)9） 由于v（k*（60，60），60）=35而且v（k*（20，60），60）=35，上式意味着一t（60， 60）≤一5。类似地（因为智能体1和2是对称的），我们有一t2（60，60）≤一5，这表示 -t（60,60)-t2(60,60)≤-10 上式表明两个智能体的支付之和小于或等于一10。由于项目的成本为50，因此， 上式导致了不可行的结果。注意，这个结果是我们在社会选择函数满足事后个体理性这 个假设下得到的。因此，上面的机制不满足个体理性。这显然表示智能体不会自愿参与 这个机制。口

口克拉克机制与个体理性 下列命题考察了克拉克机制的个体理性。首先，我们提供两个定义。 定义19.2（选择集的单调性）给定机制M，如果可行结果集X随着额外智能体进 人系统而（弱）增大，那么我们说机制u是选择集单调的（choicesetmonotone）。这 个性质意味着K-CK，Vi=1，""，n。 在直觉上，结果集的单调性意味着当更多智能体进人系统时，可行结果变得更丰富。 定义19.3（不存在负的外部性）给定满足选择集单调性的机制M。如果对于每个 智能体i、每个0E、每个k（0-）EB*（0-），我们有 0;(k=:(0-i）,0;）≥0 那么，我们说机制M没有负的外部性（nonegativeexternality）。 在直觉上，上面的性质表示智能体i不出现时的任何有配置效率的项目带给智能体 的价值大于或等于零。也就是说，当智能体i不出现时，其他智能体不会损害他的利益。 我们现在给出一个命题，它为克拉克机制的事后个体理性提供了充分条件。记住， 19.3节引人的符号u（0）表示智能体因从机制退出而得到的效用。 命题19.3（克拉克机制的事后个体理性）在给定的克拉克机制中，如果 （1）u；（0）=0，0:∈0，Vi=1，"，n； 而且该机制满足 博奔论与机制设计 （2）选择集单调性； （3）不存在负的外部性； 那么，这个克拉克机制是事后个体理性的。 证明：回忆一下，在克拉克机制中，智能体i的效用u：（f（θ），0）为 u;(f（0),0;）=0;(k*（0）,0;)+[∑o;(k*（0)，0;)]-[∑u;(k(0-i），0;)] =[∑u;(k*(0)，0;)]-[≥o;(k;(0),0;)] j#i 由于选择集的单调性，我们有k：（0-）∈K。因此， u;（f(0),0)≥[∑u;(k(0-:),0;)]-[∑u;(k;(0-i),0;)] =v;（k（0-）,0) ≥0=u;（0:) 最后一步成立的原因在于这个机制没有负的外部性。■ 例19.2（密封拍卖中的个体理性）我们首先考虑第一价格密封拍卖的例子。如果 对于每个可能类型0，智能体i因不参与拍卖而得到的效用u：（0）为零，那么容易看到 社会选择函数是事后个体理性的。 接下来考察第二价格密封拍卖的例子。如果对于每个可能类型0，智能体i因不参 与拍卖而得到的效用u：（0）为零，那么容易看到社会选择函数为事后个体理性的。而 且，这个拍卖机制的事后个体理性也可直接从命题19.3推出，因为这种机制是满足命

题所有条件的克拉克机制的一种特殊情形。口 19.5dAGVA机制 拟线性环境提供了一种绕开吉伯德一萨特思韦特定理的道路，从而让我们能够构建 满足配置效率和优势策略激励相容的机制。然而，这些机制不能实现预算平衡（参见定 理19.1）。我们寻求同时满足配置效率和预算平衡（二者合起来等价于事后效率）机制 的努力，让我们意识到要把优势策略激励相容放松为贝叶斯激励相容。这样，我们就得 到了所谓的dAGVA（d’Aspremont，Gerard-Varet，andArrow）机制。这个机制也称 为AVG机制。 下列定理（d’Aspremont，Gerard-Varet[6]andArrow[7]）说明，在拟线性环境下， 存在着同时满足事后效率和贝叶斯激励相容的社会选择函数。 （）“））（）（） 有配置效率，而且智能体的类型在统计上彼此独立（也就是说，智能体类型的联合密度 等于边缘密度的乘积）。如果智能体的支付满足 t;(0，0-:)=(0)+h;(0-)0∈O；V0-i∈O-i；Vi∈N 其中（0:）=E[∑u;（k*（0，t-i），t;）] (19.1) j去i 第 h：O-：→R是任意函数（这与格罗夫斯支付机制情形一样），那么，这个社会选择函数 是贝叶斯激励相容的。 章 证明：我们已知的条件有：社会选择函数f（·）=（k*（·），t（·），，tn（·）） 拟 有配置效率，也就是说，它满足条件式（18.1）；智能体的类型在统计上彼此独立；支 线 性 付根据dAGVA支付规则式（19.1）确定。我们需要证明社会选择函数f（·）成为贝 环 叶斯激励相容的必要和充分条件： 境中的 E_[u;(f(0，0-i),0;)0:]≥Eθ_[ui（f(0，0-i),0;)0] EO,0EO,VEN 机 制 设计空间 我们首先注意到 E[u;（f（00-i）,0;）0]=E_[o;（k*（0，0-i）,0;)+t;(0，0-;)10] 由于0：与0-在统计上独立，因此，取期望时可不以0为条件。利用式（19.1）， E_[u（f（0，0-），0）0]这一项可以写为 Eu;(k*(0，0-),0;)+h;(0-i)+E[Zu;(k*（0i，t-i)，t;)]] 上面的式子可以简化为 E[∑ ∑u;(k*(0:，0-i),0;)]+E[h;(0-i)] j=1 由于k*（·）是有效率的配置，因此它满足式（18.1），由此可得

;（k（0，0-i）,0;）≥ （k*（0，0-),0;）,0∈ 因此，对于V∈，V0∈以及VEN，我们有 Ea[;(k*(00-),0;)]+Ea;[h;(0)] ≥Ea[u;(k*(0-),0;)]+Ea,[h;(0-)] 再次使用智能体类型的统计独立性，我们可以将上面的式子写为 Ea_;[u;(f（0，0-i）,0;）10;]≥E。_[u;（f(0,0-i),0;)10;]， EO,0EO,EN 这样，我们就证明了f（·）是贝叶斯激励相容的。■ 注释注意，当智能体j≠i报告他们的真实类型时，如果智能体i能预期到其他智 能体的类型组，那么他（智能体i）的最优反应是报告自己的真实类型。 由于d’Aspremont，Gérard-Varet6]和Arrow[7]发现了这一结果，因此，对于给定 的直接显示机制，如果其中的社会选择函数有配置效率且满足dAGVA支付规则式 （19.1），那么这个直接机制称为dAGVA机制或dAGVA期望外部性机制（dAGVAex- pectedexternalitymechanism）或dAGVA期望格罗夫斯机制（dAGVAexpectedGroves mechanism)。 定义19.4（dAGVA机制）给定直接显示机制=（（O）∈N，f（·）），如果其中的 社会选择函数f（·）=（k*（·），t（·），，t（·））有配置效率且满足dAGVA支付 规则式（19.1)，那么这个直接机制称为dAGVA机制或dAGVA期望外部性机制或 dAGVA期望格罗夫斯机制。 口dAGVA机制与严格预算平衡 现在证明我们可以选择上面的函数h（·）使得） ∑t(0）=0。考虑 [= ;(0;)=E[∑o(k*(0，t-j)，t)],Vi=1,…,n 我们选择 h;(0-)=-(n-1)∑s;(0;)，Vi=1,…,n 根据上面的定义，我们注意到 t;（0)=(0;)-（ )∑;(0;) 这意味着 ∑t(0）=()-(1)∑;(0)

化简，可得 ∑t(0) =(0;)-(n1)(n—1)6:(0.) 展开上式右侧的所有项，化简，可得 ∑t;(0)=0 这表明通过谨慎地选择函数h：（·），可以使得dAGVA机制满足严格预算平衡性。 例19.3在某个dAGVA机制中，假设有三个智能体，即N={1，2，3}。他们的 支付分别为 t（θ)=(0)- [(02)+(0)] t2()=(2)-[()+()] t3(0)=(0)-[()+(0)] 显然，t（0)十t（0)十t（0)=0。这种情形可以借助图19—1理解，此图画出了上面的支 付函数。口 () (0) (0.) 拟线性环境中的机制设计空间 #(0) (0) 5(0.) ,(0.) 图19一1一个支付结构，它表明了dAGVA机制的预算平衡性 如图19一1所示，在dAGVA机制中，智能体的支付结构的平衡性可用图形进行解 释。考虑有向图G=（V，A)，其中V是由节点0，1，，n（一共n十1个节点）组成的 集合，A是[n十n（n一1)]个有向弧组成的集合。节点1到n对应着该系统含有的n个智 能体，节点0对应着社会计划者。集合A含有两类有向弧：（1）弧0→i，V=1，"，n； (2）弧i→j，Vi，j={1，，n}；i≠j。

i∈{1，2，，n}流出的总现金量为（0），从节点j∈{1，2，，n}流人节点i的 总现金量为一h（0-）=（ n-1 足现金流保留（conservation）约束而从节点O得到的净流人量。因此，如果t：（·）为 正，那么社会计划者支付钱给智能体i；如果t（·）为负，那么智能体i支付钱给社会 计划者。考察节点0的现金流保留约束式，可知智能体支付给社会计划者的钱数与社会计 划者支付给智能体的钱数之和为零。从节点i流向节点的现金流可以做如下解释。每个 智能体i首先评估所有其他智能体在智能体不出现时能产生的期望总价值，这正好就是 （0）。现在，智能体i将（0）除以所有其他智能体人数，得到一个平均额，然后他向每 个其他智能体支付这个平均额。注意到，这个配置本身明确考虑了智能体i出现的情形。 例19.4（双边交易市场）有两个参与人，参与人1（卖者）和2（买者）。参与人 1希望卖一件不可分割的商品给参与人2。参与人1的类型是销售意愿（他能忍受的最 低价格），它有两个可能值（10，20）。参与人2的类型是支付意愿（他能忍受的最高价 格），它也有两个可能值（10，20}。对于每个参与人来说，每个类型的发生概率都为 0.5。如果买者的类型大于或等于卖者报告的类型，那么交易发生；否则，交易不发生。 因此，给定配置函数k（6，02），如果6≤02，那么该函数将商品配置给买者（参与人 2)，如果0>02，那么卖者（参与人1）将保留商品。可以证明，这个配置函数有配置 博奔论与机制 效率（参见习题）。我们现在用k取代k，用来强调k有配置效率。 参与人在不同类型组中的价值可按下列方法求得。注意到，当交易发生时，卖者的 价值是他的销售意愿的相反数，而买者的价值是他的购买意愿。当交易不发生时，卖者 制设计 的价值是他的销售意愿，而买者的价值为零。首先，我们考虑v（k（10，10），10）。 在类型组（10，10）下，交易发生，卖者（智能体1）失去了商品，买者（智能体2） 得到了该商品。智能体1的支付意愿为10，因此在这个配置中他的价值为一10。类似 地，考虑u（k*（20，10)，20）。在类型组（20，10）下，交易不发生，因此商品保留 在卖者手中。由于销售意愿为20，因此在这个配置中，卖者（智能体1）的价值为20。 类似地，我们可以计算两个智能体在所有类型组下的价值。枚举如下： v（k*（10,10),10)=-10;v（k*（20,10),20)=20 v（k*（10,20),10)=-10；v（k*（20,20）,20）=-20 v2（k*（10,10)，10)=10；v2（k*（20,10),10)=0 v2（k*（10,20），20)=20；v2（k*（20,20），20)=20 现在我们计算值（参见前面满足严格预算平衡的dAGVA支付规则的定义）。计 算，可得： （20)= （0+20）=10

因此，卖者（智能体1）得到的转移为： t（10,10）=（10)-（10）=15-5=10 t（10,20）=（10)-（20）=15-（-15）=30 t（20,10）=（20)-（10）=10-5=5 t（20，20)=（20)-（20）=10-（-15）=25 买者得到的转移正好是卖者的相反数。容易看到，对于买者来说，这不是个体理性的。口 口dAGVA机制与个体理性 我们已经看到dAGVA机制满足分配效率（AE）、严格预算平衡（SBB）和贝叶斯 激励相容（BIC)。读者可能想知道它是否也满足个体理性。遗憾的是，下列定理至少在 双边交易环境下排除了这种可能性。 口迈尔森一萨特思韦特定理 它断言在双边交易环境下，不存在满足AE、SBB、BIC和事中个体理性的社会选择函 数。这个定理的正式表达如下。 第 定理19.4（迈尔森一萨特思韦特不可能定理）在双边交易环境下，假设买者和卖者 章 都是风险中性的，价值6与0独立地以正概率密度抽自区间[，0]CR与[02，0]C 拟 R，而且[，0]n[02，0]≠。于是，不存在贝叶斯激励相容且有事后效率的社会选 线 性 择函数，使得每个买者和每个卖者能通过参与交易得到非负期望效用。 环 风险中性这个术语可以参见第8章（8.6节）。对于上述定理的证明，读者可以参 境 见 Mas-Colell，Whinston and Green[8]命题 23.E.1。 中 的 机 制 19.6拟线性环境中的机制设计空间 设 计 空间 图19一2画出了我们目前为止讨论的所有结果涉及的机制空间。这个图总结了我们 在上一章和本章看到的所有结果。仔细考察这个图可知，为什么设计满足多个性质的机 制是一件非常微妙的事情。 设计者试图在拟线性环境下设计（涉及货币的）机制，当他在选择针对当前情形的 特定机制时，必须谨慎地权衡。这时可能定理和不可能定理变得重要。聪明的社会计划 设计者总是首先找出特定情形要求的重要性质，并且考察这些性质是否都位于可能区 域。如果答案为否，那么他必须去掉一个或多个性质，并最终提出适合特定情形要求的 机制。随着互联网时代新应用的出现，新性质变得重要，机制设计研究者当前的任务就 是考察如何设计最合适的机制来满足最合意的一组性质。

WBB AE SBB IIR EPE 格罗夫斯 DSIC BIC 图19—2拟线性环境下的机制设计空间 AE：配置效率；EPE：事后效率；SBB：严格预算平衡；IIR：事中个体理性；BIC：贝叶斯激励相容；C：克 拉克机制；DSIC：优势策略激励相容；V：维克瑞拍卖。 19.7线性环境 线性环境是拟线性环境的一种特殊情形，在文献中经常能遇到这种环境。线性环境 是拟线性环境的加强版，原因如下： （1）每个智能体i的类型位于区间=[0，0]CR，其中0<0。 （2）智能体的类型在统计上彼此独立，也就是说，密度（·）等于（·）×…× pn（。)。 (3)p（0)>0，0;∈[0，0]，Vi=1，，n。 （4）每个智能体i的效用函数取下列形式： ui(x,0;)=0;u;(k)+mi+ti 线性环境有比较有趣的性质，因为我们能够得到贝叶斯激励相容社会选择函数的 特征。在介绍线性环境下的贝叶斯激励相容社会选择函数的迈尔森特征定理之前，我 们定义该环境下与任何社会选择函数f（·）=（k（·），t（·），，t（·））有关 的量： ·令（θ）=E。[t（0，0-）]表示当智能体i报告自己的类型0且所有智能体 j≠i如实报告他们的类型时智能体i的期望转移。 ·令（0)=E。_[（，0-）]表示当智能体i报告自己的类型且所有智能体 j≠i如实报告他们的类型时智能体i的期望“收益”。 ·令U（0l0)=E[u（f（0，0-），0）0]表示当智能体i的类型为0但报告 且所有智能体j≠i如实报告他们的类型时智能体i的期望效用。根据上面的两个定

义，容易验证U（00）=0（0）+（0）。 时智能体i的条件期望效用。容易验证 U:(0）=0（0）+t；（0） 口迈尔森特征定理 有了上面的那些定义之后，我们现在给出迈尔森特征定理，它刻画了线性环境下的 贝叶斯激励相容社会选择函数的特征。[9] 定理19.5（迈尔森特征定理）在线性环境下，社会选择函数f（·）=（k（·）， t（·），"，t（·））是贝叶斯激励相容的当且仅当对于所有i=1，，n， （1）v（·）为非递减的， (2)U(0)≥U;(0)+ （s）ds,0;∈ 对于这个定理的证明，读者可以参考Mas-Colell，Whinston，andGreenL8的命题 23.D.2。这个定理表明为了找到线性环境下所有的贝叶斯激励相容社会选择，我们可以 采取以下方法：首先，找到函数k（·）使得每个智能体期望收益函数（·）非减。然后， 对于每个这样的函数，找到满足定理第二个条件的转移函数t（·），"，t（·）。 将前面得到的U（0）=0（0）+t（0）（特别地，U（0）=0（0）+t（0））分别 代替条件（2）中的U（0）和U：（0），可知期望转移函数正好是满足下列条件的函数： 第 对于i=1，，n，对于某个常数t；（0）， 章 拟 t（0）=t;（0）+0;0;（0）-00（0）+ （s）ds 线性 环 最后，选择任何一组转移函数t（·），，t（·），使得对于所有θ，都有Ea[t（0， 境中的 0-)]=t；（0:）。一般来说，这样的函数t;（·，·）有很多；例如，t;（0;，0-）=t；（0;） 就是其中一个。 机 制 设计空间 19.8小结与参考文献 在本章，我们考察了拟线性偏好环境下机制的若干可能性和不可能性。 ·首先，我们考察了格罗夫斯机制（它们满足配置效率与优势策略激励相容）以及 预算平衡。格林-拉丰定理排除了格罗夫斯机制满足严格预算平衡的可能性。一条绕开 这种情形的方法是令其中一个智能体的类型集为共同知识。 ·然后，我们考察了克拉克机制以及弱预算平衡。我们证明在一个充分条件（称为 不存在单个智能体效应）下，克拉克机制是弱预算平衡的。再分配机制是指使得预算不 平衡最小而又保留配置效率与优势策略激励相容。 ·接下来，我们定义了个体理性这个重要性质，它保证了每个智能体将自愿参与机

制。这个性质涉及博弈的三个阶段：事前、事中和事后。我们证明VCG机制未必满足 个体理性，而且证明了如果选择集单调性与不存在负的外部性这两个条件得以满足，那 么克拉克机制是个体理性的。 ·然后，我们讨论了dAGVA机制，也称为期望格罗夫斯机制。dAGVA机制满足 贝叶斯激励相容、配置效率以及严格预算平衡，但不满足个体理性。我们以双边市场环 境比如双边交易说明了dAGVA机制。 ·我们回顾了在拟线性环境下考察的所有机制设计结果，图19一3描述了各种可能 性和不可能性。 ·最后，我们讨论了拟线性环境的一种重要特殊情形，即线性环境；对此，我们给 出了迈尔森特征定理，它描述了线性环境下的贝叶斯激励相容机制的特征。这个结果将 贝叶斯激励相容与单调性联系在一起，这在证明（单件商品拍卖情形下的）收人等价定 理以及建立最优拍卖结果时非常有用，这些内容以后介绍。 口参考文献 [1]J.R.Green and J.J.Laffont.Incentives in PublicDecision Making.North Holland,Amsterdam,1979. tionofVCGpayments”.In:ProceedingsoftheFifthInternationalJointConferenceonAu- tonomousAgentsandMultiagentSystems，AAMAS-2006.2006，pp.882-889. 博 [3]H.Moulin.“Almost budget balanced VCG mechanisms to assign multiple ob- 奔论与机 jects".In:JournalofEconomic Theory 144(2009),pp.96-119. [4]M.Guo and V.Conitzer.“Worst-case optimalredistribution ofVCGpayments in multiunit auctions”.In:Games and EconomicBehavior 67(2010),pp.69-98. 制 设 [5]Sujit Gujar and Y.Narahari.“Redistribution mechanisms for assignment of 计 heterogeneous objects".In:Journal of Artificial Intelligence Research 41(2011), pp.131-154. [6]C.d’Aspremont and L.A.Gerard-Varet.“Incentives and incompleteinforma tion".In:Journalof PublicEconomics 11(1979)，pp.25-45. [7]K.Arrow.“The property rights doctrine and demand revelation under incom- pleteinformation”.In:EconomicsandHumanWelfare.Ed.byM.Boskin.Academic Press,NewYork,1979. [8]AndreuMas-Colell,Michael D.Whinston,and JerryR.Green.Microeconomic Theory.OxfordUniversityPress,1995. [9]RogerB.Myerson.“Optimal auction design”.In:MathematicsofOperations Research6(1)(1981)，pp.58-73. 19.9习题 （1）有两个智能体1和2，每个智能体都有一件不可分割的商品。假设={1，

2}，02={2，3>。考虑下列直接机制。两个智能体报告他们的类型。如果智能体1报告 的类型大于或等于2报告的，那么智能体1获胜；否则，智能体2获胜。获胜者变为卖 者，落败者变为买者。落败者购买获胜者持有的商品。对这个问题设计一个（严格）预 算平衡的dAGVA机制。 （2）有两个智能体1和2，他们的类型集分别为={1，2，3}，2={2，3}。每 个智能体都有一件不可分割的商品想卖给对方。dAGVA机制将决定谁变为卖者。如果 智能体1的报价小于或等于智能体2的，智能体1作为卖者。此时智能体2作为买者， 购买智能体1的商品。如果智能体1的报价大于智能体2的，那么智能体2作为卖者。 此时智能体1作为买者，购买智能体2的商品。智能体转移的钱数由dAGVA机制决 定。请对这个问题设计一个严格预算平衡的dAGVA机制。 （3）有一个卖者（智能体0）和两个买者（智能体1和2）。买者递交密封报价来购 买一件不可分割的商品。令6和6分别表示两个买者的支付意愿。和以前一样，我们 定义配置函数如下： y（0,02)=1若θ≥02 =0其他情形 y2（0，02)=1若0<02 =0其他情形 令=2=[0，1]，假设两个竞标人（买者）的报价是[0，1]上的均匀分布，而且 是独立同分布的。假设。={O}。如果这个问题使用dAGVA机制，计算支付。 第 （4）在某个密封拍卖中，有一个买者和两个卖者（智能体1和2）。买者想买一件 章 不可分割的商品。竞标人是对称的，它们的私人价值在[0，1]上均匀分布且是独立 的。报价低者获胜，卖出商品。假设这个问题使用dAGVA支付规则。计算获胜者得到 拟 线 的支付以及落败者的支付。 性 （5）在某个双边交易环境下，每个0（i=1，2）都独立地抽自[0，1]上的均匀分 环 境 布。计算dAGVA机制中的支付。验证如实报告是一个贝叶斯纳什均衡。 中的 （6）在某个双边交易环境下，每个0：（i=1，2）都独立地抽自[0，1]上的均匀分 机 布。现在假设通过拒绝参与该机制，伴随价值6的卖者得到期望效用6（他把商品消 制 费了），而伴随价值0的买者得到期望效用零。证明在dAGVA机制中，存在着一类买 设计 者或卖者使得他严格不愿意参与这个机制。 空间 （7）举例说明在双边交易环境中当买者和卖者都有离散的评价集时，可能存在着满 足贝叶斯激励相容、事后效率和个体理性的社会选择函数（提示：考虑每个智能体有两 个可能类型就足够了）。 （8）（编程题）实施dAGVA机制。仔细识别这个编程问题的输人。输出必须为针 对任何给定类型组的有效率配置以及支付向量。