吉伯德一萨特思韦特 不可能性定理 在本章，我们讨论两个不可能性定理，它们指引了机制设计理论的研究和发展方 向。第一个定理是吉伯德-萨特思韦特定理（Gibbard-Satterthwaitetheorem），它说明 在某些技术条件下：优势策略激励相容只能被独裁的社会选择函数实现。另外，这个定 理也意味着在一些现实环境例如拟线性环境下，存在着实施有趣且有用的机制的可能。 我们给出了这个定理的证明。本章还介绍了著名的阿罗不可能性定理（Arrow’simpos- sibilitytheorem），这是社会选择理论中重要的早期结果。在本章，我们还提供了理解 这两个定理所需要的知识准备。 17.1-引言 我们在上一章已经看到，优势策略激励相容（DSIC）是社会选择函数极其合意的性 质。然而DSIC是一个很强的条件，它阻碍了社会选择函数满足其他合意性质的可能。在 本节，我们讨论吉伯德一萨特思韦特不可能性定理（我们将其简称为GS定理），它表明在 不受限制的效用环境下，DSIC性质将迫使社会选择函数是独裁的。事实上，在这个过程 中，即使事后效率这个性质也被迫放弃。GS定理指引了社会机制理论在1970年代及其以 后的研究方向，因此，它是这一领域的早期里程碑。GS定理由吉伯德和萨特思韦特独立 提出，参见GibbardL1]以及SatterthwaiteL2]。GS定理部分基于著名的阿罗不可能性定理 （本章也讨论这个定理）。我们用启发性的例子开始GS定理的讨论。 例17.1（供应商选择问题）回顾例14.3。在这个例子中，N={1，2），X= {x，y，2)，={a}，={a2，b2}。考虑下列效用函数（注意，效用函数u1（·，a1） 和u2（·，a2）与例14.3相同，但效用函数u2（·，b2）不同）。

u（x，a）=100；u（y,a）=50；u（x，a）=0 u2（x，a2）=0；u2（y，a2）=50;u2（x,a2）=100 u2（x，b2）=30；u2（y,b2）=60；u2（x,b2）=20 我们看到，对于这个例子，优势策略激励相容（DSIC）和贝叶斯激励相容（BIC） 是相同的，这是因为参与人1的类型是共同知识，因此参与人1总是报告真实类型（因 为他的类型集是一个单点集）。考虑由f（a1，a2）=x以及f（a1，b2）=x定义的社会选 择函数f。可以看到，这个社会选择函数有事后效率。 为了考察DSIC，假设参与人2的类型为a2。如果参与人2报告自己的真实类型， 那么结果为α。如果参与人2谎称自己的类型为b2，那么结果也为x。因此，参与人2 没有激励来谎报。这样的逻辑也适用于参与人2的真实类型为b2的情形。因此，社会 选择函数f是优势策略激励相容的（DSIC）。 对于类型组（a1，a2）和类型组（a1，b2），结果碰巧都是参与人1最喜欢的结果， 即x。因此，参与人1是一个独裁者，f是独裁的。因此，上面的社会效用函数f有事 后效率而且是优势策略激励相容的（DSIC)，但它是独裁的。 现在，我们考虑由h（a1，a2）=y以及h（a1，b2）=x定义的另外一个社会选择函数 h，按照前面类似逻辑，可以证明h有事后效率而且为非独裁的，但不是优势策略激励 相容的。表17一1列出了本例所有九个可能的社会选择函数及其性质。 表17-1 社会选择函数及其性质 i f;（a1，a2） f;（a1，b2) EPE DSIC NON-DICT 第 y √ 章 X y 伯 y y 德-萨特思韦特不 y X √ √ y √ X EPE：事后效率；DSIC：优势策略激励相容；NON-DICT：非独裁。 不 可能性定理 注意，如果社会选择函数是社会选择函数5或者社会选择函数7，即 f5（a1，a2）=y,fs（a1，b2)=y 或 f（aa2）=x，f（a，b2）=x 那么情形是非常合意的。原因在于上面的这些社会选择函数是有事后效率的、优势策略 激励相容的以及非独裁的。然而，遗憾的是，这样的合意情形一般不会出现。在本例 中，合意情形的确出现了，原因稍后介绍。口 在一般环境中，事后效率、优势策略激励相容（DSIC）以及非独裁性很难同时得 以满足。事实上，即使DSIC与非独裁性也难以共存。这是强大的吉伯德-萨特思韦特 定理所揭示的。

艾伦·吉伯德（AllanGibbard）现在为密歇根大学心理 学讲席教授。他的经典论文《操纵投票方案：一个一般结 果》（ManipulationofVoting Schemes:AGeneral Result) 发表在1973年的《计量经济》（Econometrica）期刊上（第 41卷第4期）。该论文提供了著名的不可能性结果，这也是 本章讨论的主题。马克·萨特思韦特（MarkSatterthwaite） 也独立地提出了这个结果。吉伯德教授当前的研究兴趣是伦 理理论。他写过两本广为流行的书《思考如何活下去》 (ThinkingHow toLive,Harvard UniversityPress,2003) 以及《明智的选择与灵敏的感觉》（WiseChoices，AptFeelings，HarvardUniversity Press and Oxford UniversityPress,1990)。 马克·萨特思韦特（MarkSatterthwaite）现为西北大 学管理学院的医院和健康服务管理方向的讲席教授，他也是 策略管理和管理经济学方向的教授。萨特思韦特是一个微观 理论学者，他的主要研究兴趣是考察医疗服务市场是如何运 作的。他的论文《防策略与阿罗条件：投票程序与社会选择 函数的存在性与对应定理》（Strategy-proofnessandArrow’s Conditions:Existence and CorrespondenceTheorems for VotingProceduresandSocialWelfareFunctions）发表在 《经济理论》（JournalofEconomic）期刊（第10卷，1975 年4月）。这篇论文为阿罗不可能性定理提供了出色的重新 解释，这就是现在所谓的吉伯德一萨特思韦特定理。他写了很多学术论文，涉及市场动 态匹配、组织动态和机制设计等领域。 17.2吉伯德一萨特思韦特定理 在给出这个定理之前，我们需要介绍一些定义。 口理性偏好关系 我们已经看到，当智能体i的类型为0：时，他在结果集X上的偏好可用效用函数 u（·，0）：X→R描述，这个函数对X中的每个元素都指定了一个实数。效用函数 u（·，0）总能诱导出X上唯一的偏好关系》，该偏好关系可以描述为： x≥yu;(x,0;)≥u;(y,0;)

上面的偏好关系称为理性偏好关系（rationalpreferencerelation），它的正式定义如下。 定义17.1（理性偏好关系）给定集合X上的关系>，如果它满足下列三个性质： （1）自反性：VxEX，我们有x≥x。 （2）完备性：Vx，y∈X，我们有≥y或y≥x（或二者都成立）。 那么，我们说>是一个理性偏好关系。 下列命题给出了理性偏好关系与效用函数的关系。 命题17.1 （1）若集合X上的偏好关系>是由某个效用函数u：（·，0）诱导出的，那么》是 一个理性偏好关系。 （2）对于集合X上任何给定的理性偏好关系》，可能不存在能诱导出它的效用函 数。然而，若集合X是有限的，给定任何理性偏好关系，肯定存在着能诱导出的效用 函数。 （3）对于集合X上任一给定的理性偏好关系》，可能存在着能诱导出它的多个效用 函数。事实上，如果效用函数u（·，0）诱导出了>，那么u（x，0）=f（u（x，0））是 另外一个能诱导出>的效用函数，其中f：R→R是一个严格递增的函数。 口严格全偏好关系 我们现在定义一类特殊的理性偏好关系，它们还满足反对称（antisymmetry） 性质。 第 定义17.2（严格全偏好关系）给定理性偏好关系》，如果除了自反性、完备性和 章 传递性之外，它还具有反对称性，那么我们说》是严格全偏好关系（strict-totalprefer- 克 encerelation）。反对称是指，对于任何x，y∈X，若x>y且y≥x，则结果x与y 伯 相同。 德-萨 严格全偏好关系也称为线性偏好关系，因为它在实直线上满足常见的大于或等于关 特 系。我们将X上的所有理性偏好关系组成的集合记为9，将X上的所有严格全偏好关 思韦特 系组成的集合记为9。显然，9二9。 不 口序数偏好关系 可 能 在机制设计问题中，对于智能体i，集合X上的偏好是以效用函数u：XXO→R描述 性定 的。也就是说，对于智能体i的每个可能类型0，我们可以在集合X上定义一个效 理 用函数u（·，0）。令这个效用诱导出了集合X上的理性偏好关系>：（0）。集合= （>（0）：0∈O:）称为智能体i的序数偏好关系集。显然，C，Vi∈N。 在介绍完了上面这些定义之后，我们终于可以给出吉伯德一萨特思韦特定理了。 定理17.1（吉伯德-萨特思韦特不可能性定理）考虑社会选择函数f：0→X。假设 （1）结果集X是有限的，而且X≥3； （2)=9，ViEN； （3）f是一个满射，也就是说，社会选择函数f（·）的像是集合X。 那么社会选择函数f（·）是优势策略激励相容的当且仅当它是独裁的。

在这个定理中，条件（2）的含义是每个智能体通过他的不同类型展示他对结果的 所有可能的严格全偏好关系。因此，偏好结构已尽可能丰富。条件（3）的含义是在社 会选择函数f（·）下，X中的每个结果都是可能的。图17一1描述了吉伯德-萨特思韦 特定理（GS定理）。在此图中，F和F2代表两类社会选择函数（SCF）。F类由所有 满足条件（1）和（2）的社会选择函数组成；F2类由所有满足条件（3）的社会选择函 数组成。GS类是F和F2的交集，这个交集是优势策略激励相容的（DSIC）。GS类中 的函数必定是独裁的。 F DSIC GS F2 图17一1吉伯德一萨特思韦特定理的图示 F1：所有满足|X|≥3而且=9，ViEN的SCF组成的集合；F2：所有满射SCF组成的集合；DSIC：所有 优势策略激励相容的SCF组成的集合；D：所有独裁的SCF组成的集合；GS：FiNF2∩DSIC。 博 奔论与机 口吉伯德一萨特思韦特定理的含义 一种绕开GS定理描述的不可能情形的方法是希望定理条件（1）、（2）和（3）至 制 少有一个不成立。下面，我们依次讨论每种可能性。 设 ·条件（1）要求|X≥3。这个条件不成立仅当|X=1或|X|=2。情形|X=1 计 是平凡的，没有什么意义。情形|X|=2比较有趣，但意义有限。对应于|X|=2的情 形是下面这样的：一个公共项目，决策只有两个（上马和不上马该项目），而且不涉及 支付问题。 ·条件（2）要求9=9，ViEN。这表示每个智能体的偏好覆盖了X上的严格全 偏好关系的整个空间。也就是说，每个智能体有尽可能丰富的偏好集。如果我们能在某 种程度上限制智能体的偏好，我们希望放弃这个条件。读者立即可以注意到，例17.1 （供应商选择问题）放弃了这个条件。在著名的维克瑞-克拉克-格罗夫斯（Vickrey- Clarke-Groves，VCG）机制中，偏好被限定在拟线性定义域，这也是对条件（2）的放 松。第18章将讨论这类机制。 ·条件（3）要求社会选择函数f是一个满射。注意，例17.1也违背了这个条件。 这为我们绕开GS定理提供了另外一种途径。 另外一种避开GS定理的不合意结果的方法是寻求比DSIC弱的激励相容性。我们 已经讨论了贝叶斯激励相容（BIC）；BIC仅保证当所有其他智能体报告他们的真实类型 时智能体i的最优反应也是报告自已的真实类型。由此我们得到了贝叶斯激励相容机 制。第19章将详细讨论这类机制。

GS定理是机制设计理论的一个重要的早期结果，它影响了该领域在1970年代和 1980年代的发展路径。 17.3吉伯德-萨特思韦特定理 我们先介绍一些概念和定义：下轮廓集、弱偏好反转性以及单调性。 定义17.3（下轮廓集）给定结果xEX、智能体iN及其一个类型0EO，下轮 廓集（lowercontourset）L:（x，0）的定义为* L;（x,0)={y∈X:u;（x,0;）≥u;(y,0;)} 用文字表达，智能体i在他的类型为0：且结果为x时的下轮廓集L：（x，0）包含所 有效用不大于u（x，0）的那些结果。 口弱偏好反转性质 回顾社会选择函数f（·）是优势策略激励相容（DSIC）的必要充分条件： u;(f(0,0-i),0;)≥u;(f(θ,0-i),0)0;∈,0∈,θ-:∈O-i,Vi∈N 考虑智能体iN，令6，6∈O：是智能体i的任意两个可能类型。如果社会选择函 数f（·）是优势策略激励相容的，那么上面的必要充分条件意味着下列两个不等式： 第 ui（f(0，0-i),0）≥u;（f（θ,0-）,θ）0-;∈-i ui（f（θ，0-i）,0）≥u;（f（0,0-;）,θ）0-i∈-i 真 吉伯 显然，当类型从0变为0时，结果f（0，0-）和结果f（6，0-：）之间的偏好序被 弱反转（weaklyreverse）。由此，我们得到了下列定义。 德-萨特思韦特不 定义17.4（弱偏好反转性质）考虑智能体iEN，令0，6∈0：是智能体i的任意 两个可能类型。给定0-；0-，如果下列两个不等式成立 u;（f（0，0-i）,0）≥u;（f（θ,0-;）,θ) ui（f（0，0-i）,θ）≥u;（f（0，0-i）,0) 不 可 那么我们说，对于智能体i及其类型0和0，社会选择函数f（·）满足弱偏好反转性质 能 (weakpreferencereversalproperty)。** 性 定理 可以证明，如果对于所有可能的类型对（typepairs）0，6∈：以及对于所有 0-EO-：（iEN)，社会选择函数f（·）都满足上面的弱偏好反转性质，那么f（·）是 优势策略激励相容的。3]因此，优势策略激励相容也可以等价地描述为：对于所有智能 体iN，对于所有θ，E，以及对于所有0-EO-i，弱偏好反转性质都成立。使用 下轮廓集的表达，上面这个结果可以总结为下列命题。 *下轮廊集，也称为下等值集、下水平集等。一译者注 **这个性质的正确解读是偏好序的弱反转，“弱”体现在不等式为弱不等式（≥）而不是严格不等式 (>)。—译者注

命题17.2社会选择函数f：0→X是优势策略激励相容的当且仅当ViEN， V0-：EO-以及对于所有类型对（typepairs）θ，d∈，我们有： f(θ，0-)∈L;（f（0，0-）,0）以及f（0,0-)∈L（f（0，0-;）,0） 口单调性 单调性是社会选择函数的重要性质，它在机制设计理论中起着关键作用。假设0E 以及f（0)=xEX。令类型组从0变化为θ’EO，并且假设：每个智能体iEN发现， 在这个新类型组0中，那些在0下弱劣于x的结果仍弱劣于x。也就是说，对任意一个 智能体i，给定类型θ情形下（弱）劣于x的结果y∈X，那么在类型θ下，不会严格 优于x。社会选择函数f（·）的单调性意味着，在类型0下，仍是社会选择，也就是 说，f（θ）=x。我们将其形式化于下列定义。 定义17.5（单调性）给定社会选择函数f：→X，如果V0EO，V8∈O（0≠0）， L;(f(0),0)CL;(f(θ),θ)iENf(θ)=f(0) 那么这个社会选择函数f（·）是单调的（monotonic）。 这意味着，对于每个智能体i，当他的类型为0：时，那些弱劣于f（0）的结果在他 的类型变为6时仍弱劣于f(θ)。 口吉伯德一萨特思韦特定理的证明 博奔论与机制 必要条件（当）方向上的证明比较简单：假设条件（1）到（3）都得以满足，而 且f（·）是独裁的，那么f（·）是优势策略激励相容的。我们将这个证明留作习题。 充分条件（仅当）方向上的证明是，给定条件（1）到（3）都得以满足，而且 制 f（·）是优势策略激励相容的，那么f（·）是独裁的。这个证明分为三步。此处证明 设计 参考了 Mas-Colell，Whinston，and Green[3]。 第1步：证明f（·）是单调的 我们已知f（·）是优势策略激励相容的。考虑两个类型组0=（0，02，“，0）和 =（θ，02，…，0）使得 L(f(O),0)CL(f(O),0)EN 考虑结果f（6，02，，0）。根据弱偏好反转性质，我们有 f(θ，02,.,0n)∈L（f(0,02,··.,0n),0) 上面两个式子意味着 f(0，02,,0n)∈L（f(0，02,.,0n),0) 上面的包含关系意味着 f(0，02,.….,0)≥（0）f(0，02,.··,0) 根据弱偏好反转性质，我们再次有 f(0，02,···,0)∈L（f(0,02,···,0n),0)

这意味着 f(0,02,··.,0n）≥1（0）f（0，02,.,0n) 由于=9，Vi∈N，因此，在偏好关系≥（6）中，任意两个备选方案都不可能无差 异。因此，我们必定有 f（0，02,·..,0n）=f（0，02,·.·,0n) 类似地，可以证明 f（θ，02,..,0n）=f（0，02,..,0n) 将上面的论证迭代下去，可得 f(θ,0,···,0）=f（0，02··.,0n) 这正是单调性的定义，因此，社会选择函数f（·）是单调的。 第2步：证明f（·）有事后效率 这里我们证明如果：|X|≥3；%=9，Vi∈N；f（O)=X以及f（·）是单调的， 那么：f（·）有事后效率。我们用反证法。假设f（·）没有事后效率。于是，存在着 一个类型组θEO和结果集yEX，y≠f（θ）使得 u;(y,0:)>u;(f(0),0:）Vi∈N 上式是严格不等式，这是因为对于任何智能体来说，任意两个备选方案都不可能无差异 第 （因为=9，ViEN）。由于社会选择函数f（·）是一个满射，因此存在着一个类型 组θ∈使得f（θ）=y。因此，我们有 章 吉伯德|萨特思韦特不可 ui（f(θ）,0;)>u;(f(0）,0;）i∈N 选择EO使得ViEN， u;（f(θ）,θ）>u;（f（0),θ）>u;(x,θ）≠f（θ),f（θ) 上面的选择肯定做得到，因为9中所有的偏好都有可能发生而且|X≥3。我们现在使 用单调性证明 L;(f(θ）,0)CL;(f(θ）,)VEN 可能性定理 为了证明此事，我们证明 xEL;(f(θ),0)xEL;(f(θ),0)xEX 首先，注意，如果x=f（θ）或x=f（θ），那么显然x∈L：（f（θ)，θ）。如果x≠f（θ）， f(θ），那么 xEL;（f(θ）,0）u;(x,0)≤u;（f(θ),θ） 我们知道u（x，θ）≤u（f（θ），θ），这立即意味着x∈L;（f（θ），θ）。 现在使用单调性，可得 f(θ”)=f(θ)

我们还可以证明L（f（θ)，0）CL（f（θ)，6），ViEN。再一次使用单调性，可得 f(θ）=f(θ) 这样我们就得到了一个矛盾，因为f(0）≠f（0)。这意味着社会选择函数f必定有事后 效率。 第3步：证明f（·）是独裁的 我们已知f（·）是优势策略相容的以及有事后效率的，我们要证明f（·）是独裁 的。这个结果是阿罗不可能性定理的一个推论（参见下一节）。 到此，我们就完成了吉伯德一萨特思韦特定理的证明。■ 口一些注释与观察 对于吉伯德一萨特思韦特定理，我们做出以下重要观察。 注释注意，吉伯德一萨特思韦特定理不要求X是有限的。然而，如果X不是有限 的，那么智能体为期望效用最大化者这个假设可能与条件=9，ViEN不相容。3]如 果X不是有限的，那么当%，VEN是X上的所有连续偏好组成的集合时，吉伯德一 萨特思韦特定理仍然成立。[3] 注释如果|X|=2，那么吉伯德-萨特思韦特定理不成立。我们在讨论例17.1时 已经看到这一点。 注释当=9，ViEN，可以注意到，任何有事后效率的社会选择函数必定满足 f(O)=X。 注释即使条件（2）放松为9C，ViEN，吉伯德-萨特思韦特定理仍成立。 注释我们已经注意到（定义16.5）f：O→X在YCX上是独裁的，如果存在着智 能体dEN使得V0EO， ua(f(0),0a)≥ua(y,0a)yEY 吉伯德-萨特思韦特定理在下列特殊情形下也成立：假设X是有限的，|f(O）≥3， 9C，Vi∈N。于是，f（·）是优势策略激励相容的当且仅当f（·）在f（O）上是独 裁的。 肯尼斯·约瑟夫·阿罗（KennethJosephArrow）获得了 1972年诺贝尔经济学奖，与他一起获奖的还有约翰·R希克 斯（JohnRHicks）。获奖原因在于他们对一般均衡理论和福 利理论作出了开创性的贡献。阿罗被誉为人类有史以来最有 影响力的经济学家之一。阿罗在社会选择理论、一般均衡分 析、内生经济增长以及信息经济学等领域都做出了开创性的 贡献，这使得他成为经济学界的传奇人物。在他指导的博士 研究生中，已有三位获得诺贝尔奖：约翰·海萨尼（John Harsanyi）、迈克尔·斯宾塞（MichaelSpencer）、罗杰·迈尔森（RogerMyerson）。 著名的阿罗不可能性定理是他的经典著作《社会选择与个人价值》（SocialChoice

andIndividualValues，1951）中的一个著名结果，这本书是他博士论文的延伸。这个 定理首次发表于《政治经济学》（JournalofPoliticalEconomy）期刊（1950）。阿罗定 理也许是福利经济学中最重要的结果，它深刻地影响了机制设计理论。 肯尼斯·阿罗于1921年8月23日出生于纽约市。他于1951年获得哥伦比亚大学 博士学位，导师为哈罗德·霍特林（HaroldHotelling）教授。他于1986年获得冯·诺 依曼理论奖，2004年获得国家科学奖章，这是美国最高科学荣誉。阿罗与吉拉德·德 布鲁（GerardDebreu）在一般均衡理论上的合作成果也是一个里程碑式的结果，这一 点在德布鲁获得诺贝尔奖时被特别指出。阿罗现为斯坦福大学经济学讲席教授以及运筹 学荣誉退休教授。 17.4阿罗不可能性定理 很多情形都涉及将个人偏好序加总为社会偏好序。阿罗定理是这方面的里程碑，它 说明当至少存在着三个结果并且给定一些合意的假设条件时，不存在能将个人偏好序加 总为社会偏好序的方法。这些合意的假设有： ·一致同意性（unanimity）：如果每个参与人偏好备选方案x胜于y，那么社会序 也偏好胜于y。 ·配对独立性（pairwiseindependence）：如果每个参与人关于x和y的偏好维持不 第 变，那么在社会偏好序中社会关于x和y的偏好也维持不变[即使参与人关于其他备选 章 方案对（pairs）比如（x，z）、（y，z）、（z，w）的偏好发生了变化]。 吉伯 ·不存在独裁者（nodictator）：没有哪个参与人有能力完全控制社会偏好序。 德-萨特用 阿罗不可能性定理在很多方面塑造了社会选择理论。它被广泛用于证明微观经济学 的很多重要结果包括吉伯德-萨特思韦特定理。 在讨论这个结果之前，我们首先介绍一些概念。考虑智能体集N={1，2，，n} 思韦特 以及结果集X。令>：是智能体i（i证N）的一个理性偏好关系。例如，>：可以是效用 函数u（·，0.）诱导出的关系，其中0是智能体i的某个类型。因此，每个智能体自然 不 可 地与理性偏好集联系在一起，其中%是效用函数u（·，0）诱导出来的，这里0∈。 能 给定理性偏好关系>：，以>：表示下列关系 性定 <（)<（)（） 理 我们说关系>：是从≥：得到的严格全偏好关系（stricttotalpreferencerelation）。注意， 如果》；本身是一个严格全偏好关系，那么>：=>i。给定结果集X，严格全偏好关系可 以表示为X的元素的一个有序多元组。 与以前一样，令9表示X上的所有理性偏好关系组成的集合，9表示集合X上所 有严格全偏好关系组成的集合。令α表示9的任何非空子集。我们将社会福利泛函 （socialwelfarefunctional）定义为一个从映到R的映射。 定义17.6（社会福利泛函）给定N={1，2，"，n）、结果集X以及智能体的理

性偏好关系组构成的集合，其中C，社会福利泛函是一个映射W：→。 注意到，社会福利泛函W将给定的理性偏好关系组（>1，，>）∈加总为一 个单一的理性偏好关系》。 例17.2（社会福利泛函）在例17.1讨论的供应商选择问题中，N={1，2}，X= {x，y，x}，={a1}，2={a2，b2}。效用函数为 u（x,a）=100；u（y，a）=50；u（x，a）=0 u2（x,a2）=0;u2（y，a2）=50u2（x,a2）=100 u2（x,b2）=30；u2（y,b2）=60;u2（x,b2）=20 效用函数u导致了下列严格偏好关系

a={x,y，2} 效用函数u2导致了下列严格全偏好关系： a={x，y，x}；≥b={y，x，x} 令集合的定义为 x={(≥a≥a2),(≥a≥b)} 这里的一个社会福利泛函是由下列式子定义的映射W1： W（≥a，>a)=(x，y，x);W(≥a，≥b)=(y,x2) 另外一个社会福利泛函是由下列式子定义的映射W2： W2(≥a≥a)=(x,y,2);W2(≥a，b)=(x,y,x) 这里还可以定义其他几个这样的社会福利泛函，读者可以试试。口 注意，社会选择函数和社会福利泛函的区别。在社会选择函数情形下，偏好信息总 结在智能体的类型中，每个类型组映射到一个社会选择函数上。另一方面，社会福利泛 函将个体偏好组映射到一个社会偏好关系上。记住，智能体的类型通过效用函数确定了 集合X上的偏好关系。 我们现在定义社会福利泛函的三个性质：一致同意性（也称为帕累托性质），配对 独立性（也称为不相关方案的无关性），以及独裁性。 定义17.7（一致同意性）给定社会福利泛函W：→，如果V（>1，，≥）∈ 以及c，yEX， («)M()NA<() 那么我们说社会福利函数W是一致同意的（unanimous），其中W。（≥i，，>"）是 从W（≥1，，≥）得到的严格偏好关系。 上面的定义意味着，对于所有备选方案对x，y∈X，当每个智能体偏好胜于y 时，那么社会也（严格）偏好x胜于。 例17.3（一致同意性）对于例17.2中的情形，回忆一下： W(≥a，≥a)=W((x,y2),(x,y,x))=(x,y，z)

W（≥a，≥b)=W((x,y，x),(y,x,x))=(y,x,2) 为了验证一致同意性，我们仅需要验证下列备选方案对（因为两个参与人对这些给定的 方案对有相同的偏好序）： (y，x)∈≥a，(y，2)∈≥b，以及(y，z)∈W(≥a，≥b2); (x，x)∈≥a，(x，2)∈≥b，以及(x，2)∈W(≥a，≥b)。 因此，W是一致同意的。另一方面，考虑 W2((x,y,z),(z,y,x))=(x,y,2);W2(（x,y,x),(y,x,z))=(x,yx) 这里，（y，z)∈≥a，（y，x)∈≥b，然而（y，z)∈W（≥a，≥b）。因此，W2不是 一致同意的。口 我们现在介绍配对独立性（pairwiseindependence）或称不相关方案的无关性（in- dependenceofirrelevantalternatives，ⅡIA）。这个性质意味着社会对x和y的偏好仅取 决于个人对x和y的偏好。更具体地说，给定两个偏好关系组（>1，，>）和 （>i，"，>"）使得对于所有参与人iN，方案r和y在>：和≥中有相同的偏好序， 那么方案x和y在W（>1，，>n）和W（>1，…，≥）中也有相同的偏好序。注 意，其他方案对例如（x，z）、（y，z）以及（z，w）等在这里无关紧要（这就是该性 质也称为不相关方案的无关性的原因）。这个重要概念的定义如下。 定义17.8（配对独立性）给定社会福利泛函W：→贝，如果： H（<··<)(<.<)AXA 第 (x,y)E≥;=(x,y)E>i而且(y,x)E≥;=(y,x)E≥iVi∈N 章 我们有 克 (x,y)∈W(≥1,..,≥n)=(x,y)∈W(≥i,,>）;而且 伯 德-萨 (<·.·<)M()(<·.<)M() 那么我们说社会福利泛函W满足配对独立性（pairwiseindependence）或称不相关方案 特思韦特不 的无关性（independenceofirrelevant alternatives，IIA）。 例17.4（配对独立性）考虑前面的例子，令 W3(≥a>a2)=W3（（x，y,z),(x,yx))=(x,y,2) 可能 W3(≥a，≥b)=W3（（x，y，z),(y,x,2))=(y，x,x) 性定理 在这里，智能体1在两个偏好关系组中都偏好胜于y，但智能体在这两个偏好关系组 中都偏好胜于x。然而，在第一种情形下，社会偏好x胜于y；在第二种情形下，社 会偏好y胜于x。因此，社会对x和y的偏好不仅仅取决于个人对和y的偏好。这表 明社会福利泛函W不是配对独立的。另一方面，考虑 W(（x,y,z),(x,y,x))=（x,y,x) W4(（x,y,x),(y,x,x))=(x,x,y) 所定义的社会福利泛函W4。可以验证，W满足配对独立性。口 配对独立性是一个非常合意的性质，因为它保证了社会对任何一对方案x和的

偏好序，不以任何方式取决于x和y之外的方案，也不以任何方式取决于x和y之外 方案在个人偏好中的相对位置。其次，配对独立性与本章前面介绍的弱偏好反转性质 相连。记住，弱偏好反转性质对于保证社会选择函数的优势策略激励相容性至关重 要。最后，配对独立性导致了社会排序问题的一种自然分解。例如，如果我们想确定 社会对Y（这里YCX）中方案的偏好序，那么我们不需要考虑个人对集合X\Y中 方案的偏好。 接下来，我们介绍独裁性，也就是说，存在着一个操纵一切的参与人（称为独裁 者）：社会偏好序总是与独裁者的偏好序相同。换句话说，独裁者的偏好总是压倒性的。 显然，我们希望社会福利泛函不是独裁的。 定义17.9（独裁）给定社会福利泛函W：→，如果存在着一个智能体dEN （称为独裁者）使得Vx，yEX以及V（>1，，>）∈α，我们有 (x,y)∈≥a(x,y)∈W(≥1,",≥n) 那么我们说社会福利泛函W是独裁的（dictatorship）。 这表示当独裁者偏好x胜于时，社会也偏好胜于，无论其他智能体的偏好是 怎样的。不存在独裁者的社会福利泛函称为非独裁的。 例17.5（独裁）考虑社会福利泛函 W5（（x，y,x)，(x，y,x))=（x，y,z) W5（(x，y，x),(y，x,x))=（x,y,x) 显然，智能体1是一个独裁者。另一方面，社会福利泛函 W3（(x,y，2),(2,y,x))=（x,y,z) W3(（x,y2),(y,x,2))=（y,x,x) 不是独裁的。口 社会计划者的梦想是实施一个满足一致同意性、配对独立性和非独裁性的社会福利 泛函。遗憾的是，当智能体的偏好关系组是丰富的（rich），这个梦想属于不可能情形 范畴。这就是阿罗不可能性定理的本质。我们现在给出这个定理。 定理17.2（阿罗不可能性定理）假设 (1）|x|≥3， （2）=9R或x=9， 那么每个满足一致同意性和配对独立性的社会福利泛函W：→R是独裁的。 阿罗在文献[4]中提出了这个定理，后来在文献[5]中给出了详尽证明。对于阿罗定 理的证明，我们推荐读者参考Mas-Colell，Whinston，andGreen3]中的命题21.C.1。 阿罗不可能性定理可用图17一2表示。集合P表示所有帕累托或称一致同意的社会福利 泛函组成的集合。集合ⅡIA表示所有满足不相关方案无关性（或称配对独立性）的社会 福利泛函组成的集合。此图表明集合P与IIA的交集必然是D的子集，这里D表示所 有社会福利泛函组成的集合。

D P IIA W 图17一2阿罗不可能性定理的图示 W：=或=9"的所有社会福利泛函组成的集合；P：所有帕累托的或称一致同意的社会福利泛函组成的 集合；ⅡIA：所有满足不相关方案无关性或称配对独立性的社会福利泛函组成的集合；D：独裁社会福利泛函。 吉伯德一萨特思韦特定理与阿罗不可能性定理紧密相连。社会福利泛函的一致同意 性与社会选择函数的事后效率紧密相连。社会福利泛函的独裁性与社会选择函数的独裁 性紧密相连。社会福利泛函的配对独立性通过弱偏好反转性质和单调性与社会选择函数 的优势策略相容性紧密相连。我们不再详细讨论这些议题。感兴趣的读者可以参考 Mas-Colell，Whinston，andGreenL3]（第21章和第23章）。 在本节最后，我们给出阿罗不可能性定理的一个推论，这个推论在证明吉伯德一萨 第 特思韦特定理时非常有用。这个推论就是Mas-Colell，Whinston，andGreenL3]中的命 章 题21.E.1。 吉伯 命题17.3假设|X≥3而且可行偏好定义域为=R"或=9”。于是，每个弱 德|萨特思韦特不可能性定理 帕累托的且单调的社会选择函数f：→X是独裁的。 17.5小结与参考文献 吉伯德-萨特思韦特定理表明当（a）结果集为有限集而且至少含有三个元素，（b） 结果上的所有可能的严格偏好对每个智能体都是可及的，（c）社会选择函数产生了每个 可能结果时，优势策略激励相容只能通过独裁的社会选择函数实现。在表面上，这个定 理显然给了机制设计者当头一棒。然而，通过仔细考察该定理成立所要求的条件，机制 设计研究者已经挖掘出很多有趣的可能性： ·将偏好限制在拟线性环境，可得到著名的维克瑞-克拉克一格罗夫斯（Vickrey- Clarke-Groves，VCG）机制，这种机制能在一般的现实情形下实施优势策略激励相容 性和配置效率性。 ·将优势策略激励相容（DSIC）放松为贝叶斯激励相容（BIC)，可得到多种贝叶斯机 制，例如dAGVA机制，该机制满足贝叶斯激励相容性、配置效率性以及严格预算平衡性。 阿罗不可能性定理比吉伯德一萨特思韦特定理早出现了将近二十年，它为吉伯德一萨

特思韦特定理的证明提供了技术工具。阿罗不可能性定理广泛存在于社会选择理论中， 它表明在类似条件下，一致同意性与不相关方案的无关性不可能与非独裁性共存。 吉伯德一萨特思韦特定理和阿罗不可能性定理有多种证明方法。本章提供的证明参 考了Mas-Colell，Whinston，andGreen3]。关于吉伯德-萨特思韦特定理简练而直接的 证明，读者可以参考Sen[6]。 口参考文献 [1]A.Gibbard.“Manipulation of voting schemes".In:Econometrica 41 (1973), pp.587-601. and correspondence theorem for votingprocedure and social welfare functions”.In: JournalofEconomicTheory10(1975),pp.187-217. [3]AndreuMas-Colell,Michael D.Whinston,andJerryR.Green.Microeconomic Theory.Oxford UniversityPress,1995. [4]Kenneth J.Arrow.“A difficultyin the concept of social welfare”.In:Journal ofPoliticalEconomy58(4)（1950)，pp.328-346. [5]KennethJ.Arrow.Social Choiceand Individual Values.YaleUniversity Press,1951. [6]Arunava Sen.“Another direct proof of the Gibbarad-Satterthwaite theorem”. In:EconomicsLetters70(2001)，pp.381-385.