效用理论 效用理论在博弈论中占有核心地位。它们以实数描述了参与人对不同结果的偏好， 从而使得我们可以在博弈理论分析中使用实值函数。到目前为止，我们隐含地假设效用 函数能够正确描述参与人对不同结果的偏好。冯·诺依曼和摩根斯坦发展出的效用函数 为这个假设提供了科学依据。本章介绍他们的公理性的效用理论（utilitytheory）。本 章还说明任何仿射变换都能保留效用函数的性质。我们还介绍了计算冯·诺依曼一摩根 效用理论 斯坦效用的方法。最后，根据参与人对风险的态度，我们将他们划分为风险中性、风险 厌恶和风险喜好三类。 8.1为何需要效用理论 策略型博弈中的结果（outcomes）通常是n维策略向量，其中n表示参与博弈的人 数。例如，给定有着下列收益矩阵的BOS博弈 A B A 2，1 0，0 B 0，0 1，2 该博弈的结果集为 X={(A,A),(A,B)，(B,A),(B,B)} 每个参与人对不同结果都有偏好，这些偏好可用二元关系表示，在经济学背景下，这样

的二元关系就是定义在结果集X上的偏好关系（preferencerelation）。参与人的效用函 数将结果映到实数，从而反映了他对这些结果的偏好。参与人1的效用函数为 u（A，A)=2；u（A，B)=0；ui（B，A)=0；u（B，B)=1 上面的实数2，0，0，1分别描述了参与人对四个结果的偏好。参与人2的效用函数为 u2（A，A)=1；u2（A，B)=0；u2（B,A)=0；u2（B，B)=2 注意，效用函数将多维信息映人实数，从而以实数描述偏好。这里自然产生一个问题： 决了这个问题。20世纪，人们发展出了很多效用理论。冯·诺依曼和摩根斯坦（von NeumannandMorgenstern[i]）发展出的效用理论是最有影响的一种，而且它与博弈论 的关系最为密切。在本章，我们循序渐进地定义博弈背景下的效用，在这个过程中我们 将解决一系列小问题。这里的思想源自下列文献：Straffin[2]，Maschler，Solan，and Zamir3]，Shoham and Leyton-Brown[4]，以及Myerson[5]。 口序数效用 我们用一个简单的例子来说明序数效用思想。 例8.1（序数效用）某个博弈有两个参与人1和2，以及四个结果X={x，y，%，w）。 假设参与人1最偏好x，接下来分别为y，和w。我们将其记为x>y>z>w。假设参与 人2对这些结果的偏好正好与参与人1相反，即参与人2的偏好为w>z>y>α。如果 博 我们对这些结果指定不同实数来反映这种偏好序，那么这样的赋值方法有很多。一种可 奔 论 能的赋值方法为： 与机 参与人1:x：4；y：3；x：2；w：1； 制 参与人2：x：2；y：4；x：6；：9。 设 计 现在考虑另外一种能描述参与人1偏好的赋值： 参与人1:x：100；y：50；x：10；w：0。 注意，在对参与人1偏好的上述两种赋值中，他的偏好程度不同，数值差之比也不同。 然而，在序数效用背景下，这两种赋值方法是等价的，因为它们都能描述参与人的偏好 序。口 显然，存在着不可数的无穷多个效用函数u：X→R和u2：X→R，它们都能描述参 与人1和2的偏好。特别地，如果>：（i=1，2）表示参与人i的偏好关系，那么我们主 要关注满足 x1≥ix2<u;(x1）≥u;（x2) 的效用函数u;（i=1，2）。 给定一种测量方法（scale），若更大的数表示更受参与人偏好的结果，从而使得只 有数的顺序起作用，而数的绝对或相对大小无关紧要，那么这种测量方法称为定序测量 （ordinalscale）。按照这种方法得到的效用值称为序数效用（ordinalutilities）。注意， 这里的效用值描述的仅是参与人的偏好序，而不是他的偏好强度。

口彩票上的偏好 当描述不确定环境下参与人将选择哪个结果时，人们通常使用彩票（或概率分布） 这个概念。假设X={x1，2，"，cm}。那么X上的一种彩票就是一个概率分布 o=p1:x1p2:x2·.;Pm：xm] 注意， p;≥0，j=1,2.,,m且∑p; =1 j=1 我们需要考察不同彩票上的偏好，效用函数定义在由所有彩票组成的集合入（X）上。 我们用简单的例子来说明。 例8.2令结果集与例1一样，仍为X={x，y，，w}。考虑下面两种可能性。在 第一种情形下，结果x，y，2，w发生的概率分别为0.5，0.2，0.2，0.1。在第二种情 形下，x，y，2，w发生的概率分别为0.4，0.3，0.15，0.15。我们用X上的两种彩票 01和o2来表示上述两种可能性： 01=[0.5x;0.2:y；0.2:z;0.1:w]；o2=0.4:x;0.3:y；0.15:x;0.15] 现在我们关注的问题是，在上面两种彩票中，参与人更偏好哪种。为了找到这个问题的 答案，我们需要在X上定义效用函数。口 定义X上的效用函数，应该使得一种彩票比另外一种更受偏好，当且仅当前者的 第 赋值大于或等于后者的赋值。对此，冯·诺依曼和摩根斯坦提出了一种优雅的理论。事 章 实上，他们证明在一定公理条件下，只要效用函数关于彩票的概率为线性（linearinthe 效用理论 probabilitiesofthelottery），那么这样的效用函数就能满足要求。 论 8.2冯·诺依曼一摩根斯坦效用理论公理 与以前一样，令X表示结果集。考虑参与人i，假设我们关注他在X中结果上的偏 好。这些偏好可用X上的二元关系≥表示。给定x1，x2∈X，对于既定参与人i，我们 定义： ·x1≥x2：结果x弱偏好于x2。 ●x1>x2：结果x严格偏好于x2。 c1～x2：结果x和x2无差异。 由此立即可注意到： ·x1>x2x≥x2且（x2≥x），其中-（x2≥x1）表示x2≥x不成立。 x~x2<x1≥x2且x2≥x1。 显然，关系>是反身的（reflexive）。 我们希望将二元关系>、≥和～扩展到彩票集上，以便描述参与人对彩票的偏好。 为了做此事，我们提供六个公理，它们代表了偏好需要满足的一些自然且合意的性质。

这些公理为：完备性、传递性、可替代性、可分解性、单调性以及连续性。这些公理都 是冯·诺依曼和摩根斯坦明确说明的。前两个公理（完备性和传递性）用于单个结果之 间的比较。后面四个公理为我们将偏好关系扩展到彩票上提供了架构。 公理1（完备性） 完备性（completeness）公理表示每一对结果都被偏好关系联系起来。而且，偏好 关系》诱导出了X上的序，它允许平局结果的出现。完备性的正式表示为 x1>x2；或x2>x1；或x1x2Vx1x2∈X 口公理2（传递性） 传递性（transitivity）是说 X 为了看清为何传递性是一个自然而然的要求，我们设想一下如果不满足传递性将会出现 什么后果。假设x≥x2且x2≥x3然而x3>x1。假设如果允许参与人将当前结果换成他 更偏好的结果，他愿意支付一定的钱数。于是上面的三个关系意味着，为了将x3换成 x3（注意这是同一个结果），他愿意支付一笔非零的钱！这样的情形通常称为货币泵 (moneypump），它显然是有问题的。 口公理3（可替代性） 博 弈论与机制 可替代性（substitutability）公理通常称为独立性（independence）。如果～x2， 那么对于满足 制 设计 p+∑p;=1 =3 的结果x3，，m以及概率p，p3，，Pm，参与人对于彩票a=[p：x1；P：c3；； Pm：xm]和o2=[p：x2；P3：x3；"；Pm：xm]是无差异的。我们将其写为o1～02 或者 [p：x1p3x3·.;pm：xm][p：x2；P3：x3；；pmxm] 可替代性意味着在这种情形下，结果x总可以换成x2，结果x2总可以换成x1。 例8.3假设某个比赛获胜选手面对的奖品是以下两个选择。 ·选项1：以概率0.3得到一台平板电脑，以概率0.7得到一辆摩托车； ·选项2：以概率0.3得到一台笔记本电脑，以概率0.7得到一辆摩托车。 如果他认为平板电脑和笔记本电脑无差异，那么可替代性意味着他对选项1和2是 无差异的，其中选项1为彩票[0.3：平板电脑；0.7：摩托车]，选项2为彩票[0.3： 笔记本电脑；0.7：摩托车]。口 口公理4（可分解性） 可分解性（decomposability）公理通常称为彩票的简化（simplificationoflotter-

ies）。假设o是X上的一种彩票，令P。（x;）表示x：被。选中的概率。分解性公理是说 P（x;)=P（x;）x;∈X01~o2o1，o2∈△（X) 例8.4令X={x1，x2，x3}，则X上的一种彩票。可以为 =0.6:x1;0.4:0.4:x1；0.6:x2]]。 上面这种彩票称为复合彩票（compoundlottery），因为它身体里嵌人了另外一种彩票。 作为可分解性公理的结果，对于参与人来说，下列彩票都是等价的： 01=[0.76:x1;0.24:x2] 02=[0.6:x1;0.4:[0.4x1;0.6:x2]] 03=[0.4:x;0.6:0.6:x1;0.4:x2]] 04=[0.5:[0.8：x1;0.2:x2];0.5:[0.72:x1;0.28:x2]] 注意，可分解性使得我们可将复合彩票化简为简单彩票。口 口公理5（单调性） 假设对于既定参与人，结果x严格偏好于x2，即x>x2。假设o和是{1，x2）上 的两种彩票。单调性（monotonicity）意味着参与人偏好对x指定更高概率的那种彩 票。更正式地说，Vx1，x2∈X， [²：b-x：b]<[²4-：4]<0<b<4<x 第 在直觉上，单调性意味着好东西多多益善。 章 例8.5假设某个比赛获胜选手面对的奖品是以下两个选项： ·选项1：以0.2的概率得到一台笔记本电脑，以0.8的概率得到一辆摩托车； 效 用 ·选项2：以0.3的概率得到一台笔记本电脑，以0.7的概率得到一辆摩托车。 理 如果该选手更偏好摩托车而不是笔记本电脑，那么单调性意味着他更偏好选项1而 论 彩票[0.3：笔记本电脑；0.7：摩托车]。口 口公理6（连续性） 连续性（continuity）公理是说Vx1，x2，x3EX， [x：4：4][]4E<x<x< 连续性公理意味着，给定任一结果2使得结果x严格偏好于x2且x2严格偏好于结果 x3，则对于某个概率p，我们有x2与[p：x1；1一p：x3]无差异。 例8.6假设某个比赛获胜选手面对的奖品是一辆摩托车（x1）、一台笔记本电脑 （2）或一部手机（x3）。假设对他来说，摩托车严格比笔记本电脑好，笔记本电脑严格 比手机好。于是，连续性公理断言，存在着概率p∈[0，1]使得该获胜选手对笔记本 电脑和彩票[p：xi；1一p：x3]无差异，其中这种彩票表示他能以p的概率得到摩托 车，以（1一p）的概率得到手机。口 现在我们不加证明地给出一个引理，然后给出并证明一个重要定理。

引理8.1假设关系>满足完备性、传递性、可分解性以及单调性。那么若x>x2 且x2>x3则存在着概率p使得 4>b0A[x：b-：b]<x 4«A<[：： 这个证明留作习题（参见本章课后习题）。使用公理（1）到（6），以及上面的引理，我 们现在已做好准备来证明冯·诺依曼和摩根斯坦（vonNeumannandMorgenstern[1]） 的重要结果了。 8.3冯·诺依曼一摩根斯坦定理 定理8.1给定结果集X={x1，，xm}，以及定义在X上而且满足完备性、传递 性、可替代性、可分解性、单调性和连续性的偏好关系》，则存在满足下列两个性质的 效用函数u：X→[0，1]： （1）u（x1）≥u（x2）当且仅当x1≥x2，Vx1，x2∈X； (2)u([px1p2x;pm：xm])=p;u(x;)。 j=1 注释上面定理中的条件（2）显然说明了如何定义彩票上的效用函数。注意，条 件（2）的右侧关于概率P1，"，Pm为线性。这是冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数的显 博奔论与机制 著性质。满足上面条件（1）和（2）的效用函数称为冯·诺依曼一摩根斯坦效用函数。 证明：首先我们考察x～x，V，x∈X这种退化情形。这种退化情形意味着参 与人对所有x;EX都是无差异的。考虑函数u（x:）=0，Vx;∈X。定理的第1部分显然 为真。第2部分可使用可分解性和可替代性推出，我们将其留作习题。 设计 如果不是退化情形，那么根据完备性可知，必定至少存在着一个最好结果以及至少 存在着一个最差结果，而且这两个结果不同。假设EX是一个最好结果，EX是一 个最差结果。显然，>。现在，给定任何x：∈X，根据连续性可知，存在着唯一概 率p使得 xi~[p：：x；1-pi：x] 将u：X→[0，1]定义为u（x;）=p，Vx;∈X。对于这个u，我们将证明定理的第1部分 和第2部分。 口第1部分的证明 假设x1，x2∈X。我们按照下列方法定义两种彩票o和o2，使其分别对应1 和c2： x1o1=[u（x}）：x;1-u（x）;x] x2o2=[u（x2）：x；1-u（x2）;x] 我们将证明u（x）≥u（x2）=x1≥x2。

我们首先证明u（x）≥u（x2）→x≥x2。假设u（x）>u（x2）。由于π>x，根据单调 性可知， x10>02x2 利用传递性、可替代性以及可分解性，可得x>x2。 现在假设u（x）=u（x2）。于是，o和o2是相同的彩票，这意味着 x101=02x2 根据传递性可知，x1～x2。这样，我们就证明了u（x）≥u（x2）→x1≥x2。 接下来，我们证明另外一个方向也为真，即x1≥x2→u（x1）≥u（x2）。 对于这一部分，我们的方法是证明其逆否命题成立，即证明 [x<²x＜=（²x)n>（x)n 注意，上面这个逆否命题可根据完备性写出。事实上，这个命题在我们证明 u（x）>u（x2)x1>x2 时，已得到了证明。只不过在这里，我们互换了x和x2的位置。 口第2部分的证明 首先，我们定义 u=u([p1：x1；p2：x2；;Pm：xm]) 第 根据效用函数u的定义，对于每个x∈X，我们有 章 xj~[u（x;)：x;1-u（x;):x] 效 利用可替代性，我们可以将（u定义中的）每个x；换成相应的彩票。由此可得， 用 理 ([x：（x)n-[x：（“x）n]：“d…[x：（x)n—[：（r)n]：4])n=n 论 注意，上面的复合彩票仅在和x这两个结果之间进行选择。使用可分解性，可得 ([x:((x)nd-I)：(()na)])n=n 利用效用函数u的定义，立即可得 u=> piu(x;) 这样，我们就证明了定理的第2部分，从而完成了整个定理的证明。■ 例8.7假设某个比赛获胜选手面对的奖品为以下两个选项。 ·选项1：以0.3的概率得到一台平板电脑，以0.7的概率得到一辆摩托车。 ·选项2：以0.3的概率得到一部手机，以0.2的概率得到一台笔记本电脑，以 0.5的概率得到一辆摩托车。 假设该选手的效用函数u（·）对手机、平板电脑、笔记本电脑、摩托车这四个结 果的赋值分别为100、200、300和400。于是，冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数对选项1

的赋值为（0.3)（200)+（0.7)（400），对选项2的赋值为（0.3）（100)十（0.2)（300）+ （0.5）（400）。因此，选项1的期望效用为340，而选项2的期望效用为290。作为理性 人，显然他会选择选项1。口 8.4仿射变换 在上面的定理中，效用函数的值域为[0，1]。如果能有值域不限于[0，1]的效 用函数就好了。下面的结果将效用函数扩展到更广的值域。 命题8.1给定满足定理8.1性质（1）和（2）的效用函数u（x），那么u（x）的每 个正仿射变换（positiveaffinetransformation） U(x)=au(x)+b 都是一个满足定理8.1性质（1）和（2）的新效用函数，其中α，b都是常数而且a>0。 我们将这个结果的证明留作习题。这个命题的一个有趣结果是，有些两人博弈似乎 不是零和博弈，但事实上是，比如下面的例子。 例8.8（收益之和为常数的博弈）在图8一1所示的两人博弈中，两个参与人的效 用之和为常数1。如果我们将其中一个参与人（比如参与人2）的效用减去常数1，那么 我们就得到了如图8—2所示的零和博弈。口 A B A 2，-1 5，-4 B -6，7 -1，2 图8一1收益之和为常数的博弈 A B A 2，-2 5，-5 B -6，6 -1，1 图8-2零和博弈，它等价于图8-1中的博弈 例8.9（非零和博弈）图8—3所示的博弈是一个两人非零和博弈，而且参与人的 收益之和不是常数。对参与人1的效用使用仿射变换g(x)=( -（x一17），我们就得到了 图8一4所示的零和博弈。口 A B A 27，-5 17,0 B 19,-1 23，-3 图8-3非零和博弈

A B A 5，-5 0，0 B 1，-1 3，-3 图8-4零和博弈，它等价于图8-3中的博弈 8.5计算冯·诺依曼一摩根斯坦效用 给定结果集X，冯·诺依曼-摩根斯坦效用提供了一种在这些结果上构建效用的方 法。这里的重要结果是，我们可以通过向参与人问询一些关于彩票的问题来构建效用。 我们用一个例子来说明此事。（这个例子是文献[2]的第9章的一个简化版本。） 假设X={x1，x2，3}，不失一般性，假设参与人的偏好序为x>x2>x3。我们现 在对最受偏好的结果和最不受偏好的结果3赋值，显然，这样的赋值方法是任意 的，只要满足前者的赋值大于后者的赋值即可。假设我们对x和x3的赋值分别为200 和100，即u（x1）=200，u（x）=100。现在我们对x2赋值。为了做此事，我们问参与 人：对于下面两个选择，你更偏好哪个？一是以概率1得到x2；二是彩票（以概率1/2 得到x1，以概率1/2得到x3）。如果参与人认为x2比彩票更好，那么这意味着x2比1 和x3的中点好，这意味着我们对x2的赋值必须大于150。图8一5描述了这种情形。 X 效用理论 x2 可能的位置 图8-5情形1 我们问参与人的第二个问题，比如为：对于下面两个选择，你更偏好哪个？一是以 概率1得到x2；二是彩票（以概率0.75得到x1，以概率0.25得到x3）。如果参与人更 偏好彩票，那么我们可用图8一6描述这种情形。 x3 x2 可能的位置 图8-6情形2 经过向参与人问询一系列这样的问题，我们最终可以找到一种彩票使得他对x2和 该彩票无差异。假设该彩票为[0.7：x1；0.3：x3］。这意味着我们对x2赋值170，如 图8—7所示。

x2 图8一7最终的赋值 冯·诺依曼一摩根斯坦效用理论保证了只要我们在他们的公理架构内考察，这样的 问题存在着唯一解。 8.6参与人的风险态度 在经典经济文献中，个体的风险态度分为三类：风险厌恶、风险中性、风险喜好 （或者，风险追求）。这些风险态度可用效用理论刻画。我们先看一个例子。 例8.10（风险态度）假设某个比赛获胜选手面对的奖品为一辆摩托车（x1）、一 台笔记本电脑（x2）或一部手机（x3）。假设他的效用函数为 u（x）=1000；u（x2）=200；u（x）=0 根据效用理论，我们知道，存在概率p∈[0，1]使得参与人对（1）确定性的结果x2与 （2）彩票[p：x；（1一p）：x3］无差异。这个概率为多大？答案取决于该选手对待风 博奔论与机制设计 险的态度。如果他是风险中性的，那么这个概率为0.2（注意，200=（0.2）（1000）十 （0.8）（0））。如果他厌恶风险，那么他将偏向确定性的结果，因此，概率p将小于或等于 0.2。如果他喜好风险，那么他愿意赌一下看看能否得到更高的收益，因此，概率p将大 于或等于0.2。我们将这些概念形式化如下。口 假设结果集为X=[一R，R]，其中R是一个正实数；假设xEX表示博弈参与人 得到的货币报酬。令u（·）是一个定义在彩票上的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数，这 些彩票又定义在该参与人的X的有限子集上。正如我们已看到的，u（·）可根据参与 人在不同结果下的效用得到，比如，U：X→R。注意， U;（x)=u;([1:x])xEX 假设o=[p·x1；；Pm·xm]是一个定义在结果集{x1，，xm）上的彩票，其中 x∈X，Vj=1，"，m。由于u（·）是一个冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数，我们有 u;(o)=∑p;U;(x) j=1 将对应于。的期望货币报酬记为 μ= 于是，给定参与人i，若对于定义在X的有限子集上的所有彩票o，都有 u;(o)=u;([1：μo])

则参与人i是风险中性的（riskneutral）； 如果 u;（o)<u;([1:μo]) 则参与人i是风险厌恶的（riskaverse）； 如果 u;(o)≥u;([1:μ]) 则参与人i是风险喜好的（riskloving）。 在理论上，我们可以使用上面的定义来确定给定的效用函数是风险中性、风险厌恶 还是风险喜好的；这要求我们对每个。进行验证，这在实践中显然不可行。下面的定理 为我们确定参与人的风险态度提供了更有效率的方法。我们不加证明地给出这个有用的 定理。 定理8.2假设x1，x2∈R表示参与人i的任何一对货币报酬。 若p∈[0，1]， u;([p：x1;(1-p)：x2])=u;（[1：px+（1-p）x2])Vx，x2∈R 则他是风险中性的； 若Vp∈[0，1]， u;([p：x1；（1-p)：x2]）<u;([1:px+(1-p）x2])Vx1x2∈R 则他是风险厌恶的； 若Vp∈[0，1]， ²xxA(x(4-)+xd：])n<([²：(d-)：4])n 效用理论 则他是风险喜好的。 注释上面的定理意味着风险厌恶者的效用函数是凹的，而风险喜好者的效用函数 是凸的。显然，风险中性者的效用函数是线性的。图8一8和图8一9分别画出了风险厌 恶者和风险喜好者的效用函数。 u,(x) u（x2) u(p（x，)+（1-p)（x))f pu（x）+（1-p)u（x） u（x） x px,+(1-p)x x 图8一8风险厌恶者的效用函数

u（x) u(x) pu（x）+(1-p)u（x) u(p（x）+（1-p)（x）） （x)’n x px+（1-p)x X2 图8一9风险喜好者的效用函数 8.7小结与参考文献 博弈背景下的效用函数将多维策略组映人实数，由此产生的问题是，这样的映射能 否全面地描述偏好而不遗漏信息？冯·诺依曼和摩根斯坦用他们的效用函数回答了这个 问题。本章的重要知识点如下。 ·冯·诺依曼和摩根斯坦提出了六个公理，它们都是结果集和偏好需要满足的合意 性质。这六个公理分别为：完备性、传递性、可替代性、可分解性、单调性以及连 续性。 ·为了描述在伴随不确定性的偏好的情形下，参与人将选择哪个结果，效用理论使 用定义在结果集上的彩票这个概念。 ·冯·诺依曼和摩根斯坦发展出的效用理论，在上述六个公理得以满足的前提下， 保证了效用函数的存在，使得该函数能完全描述定义在彩票上的偏好（这些彩票又定义 在结果集上）。值得注意的是，这个效用函数关于概率为线性。 ·冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数的任何正仿射变换也是一个冯·诺依曼-摩根斯坦 效用函数。 ·给定结果集，冯·诺依曼-摩根斯坦效用的计算有着系统性的方法。 ·根据参与人对待风险的态度，我们可以将他们分为三类：风险中性、风险厌恶以 及风险喜好。这三类人的效用函数分别为线性的、凹的、凸的。 ·有时，人们喜欢用货币解释效用。然而，这种做法通常不合适。原因有很多。首 先，个人的效用未必仅取决于钱数。其次，在交易中，货币未必总是出现。例如，肾脏 交换、以物易物等。即使在货币出现的情形下，效用也未必线性地取决于货币量。效用 如何取决于货币量，还与个人的风险态度有关。 本章的材料整合了以下文献：[4]，[3]，[2]，以及[5]。为了更深人地了解这些议 题，读者必须参考这些文献。文献[5]和[3]的处理更为严格和全面。详尽表述当然要参 考vonNeumannandMorgenstern[1]这部原始经典著作。

参考文献 [i]JohnvonNeumannandOskarMorgenstern.TheoryofGamesandEconomic Behavior.PrincetonUniversityPress,1944. [2]PhilipD.StraffinJr.GameTheory andStrategy.TheMathematical Associa- tionofAmerica,1993. [3]Michael Maschler,Eilon Solan,and Shmuel Zamir.Game Theory.Cam- bridgeUniversityPress,2013. [4]YoamShoham andKevinLeyton-Brown.MultiagentSystems:Algorithmic, GameTheoretic,and LogicalFoundations.CambridgeUniversityPress,New York, USA,2009. [5]RogerB.Myerson.GameTheory:AnalysisofConflict.Harvard University Press,Cambridge,Massachusetts,USA,1997. 8.8习题 （1）完成引理8.1的证明（文献[4提供了证明）。 （2）证明效用函数的仿射变换不会影响冯·诺依曼-摩根斯坦效用的性质（1）和 （2）（参见定理8.1）。 （3）文献[2]提供了一种使用图形来考察给定的两人非零和博弈是否等价于零和博 弈的方法。这涉及将参与人1和2的效用画在X一Y平面上。请阅读之（没错，这是阅 效用理论 读练习)。 （4）定理8.2为刻画参与人的风险态度（风险中性、风险厌恶以及风险喜好）提供 了简便方法。请证明这个定理。